Каким образом можно построить график функции y=x^2-2x-8? Используя график, как можно определить: 1) область значений

Для построения графика функции \(y = x^2 - 2x - 8\) можно использовать следующие шаги:

1) Разобьем заданный промежуток значений \(x\), чтобы получить несколько точек для построения графика. Для примера, возьмем значения \(x\) от -5 до 5. Мы будем строить график поэтапно.

2) Вычислим соответствующие значения \(y\) для каждого значения \(x\). Заменяя \(x\) в функции на каждое из выбранных значений, получим:

\[y = (-5)^2 - 2(-5) - 8 = 25 + 10 - 8 = 27\] для \(x = -5\)
\[y = (-4)^2 - 2(-4) - 8 = 16 + 8 - 8 = 16\] для \(x = -4\)
\[y = (-3)^2 - 2(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7\] для \(x = -3\)
\[y = (-2)^2 - 2(-2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0\] для \(x = -2\)
\[y = (-1)^2 - 2(-1) - 8 = 1 + 2 - 8 = -5\] для \(x = -1\)
\[y = (0)^2 - 2(0) - 8 = 0 - 0 - 8 = -8\] для \(x = 0\)
\[y = (1)^2 - 2(1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9\] для \(x = 1\)
\[y = (2)^2 - 2(2) - 8 = 4 - 4 - 8 = -8\] для \(x = 2\)
\[y = (3)^2 - 2(3) - 8 = 9 - 6 - 8 = -5\] для \(x = 3\)
\[y = (4)^2 - 2(4) - 8 = 16 - 8 - 8 = 0\] для \(x = 4\)
\[y = (5)^2 - 2(5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7\] для \(x = 5\)

3) Теперь, используя полученные значения \(x\) и \(y\), можем нанести точки на графике и соединить их гладкой кривой. Построенный график будет иметь форму параболы, открывшейся вверх.

4) Чтобы определить область значений функции, мы обращаем внимание на вершину параболы. В данном случае, парабола открывается вверх, так как коэффициент при \(x^2\) положительный (1). Следовательно, наше минимальное значение находится в вершине параболы, а область значений функции \(y\) будет в интервале \((- \infty, \text{вершина}]\).

Определим вершину параболы. Вершина параболы имеет координаты \((h, k)\), где \(h\) - это абсцисса вершины параболы, определяемая формулой \(h = \frac{-b}{2a}\), где в нашем случае \(a = 1\) и \(b = -2\). Подставим значения:

\[ h = \frac{-(-2)}{2(1)} = \frac{2}{2} = 1\]

Для нахождения значения \(k\) подставим \(h\) в исходную функцию:

\[ k = (1)^2 - 2(1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9 \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \((1, -9)\). Область значений функции \(y\) будет от \(-\infty\) до -9 (не включительно): \(y \in (-\infty, -9)\).

5) Чтобы определить промежутки возрастания функции, мы смотрим, где график функции находится выше оси \(x\) (то есть где \(y\) положительно). В нашем случае, функция возрастает, когда \(y > 0\).

Аналогично нахождению \(h\) для вершины параболы, мы используем выражение \(h = \frac{-b}{2a}\) для нахождения точки, где функция достигает экстремума (минимума или максимума). В данном случае, у нас парабола открывается вверх, поэтому у нас есть минимум \(y\), и функция будет возрастать как слева от этой точки, так и справа от нее (поскольку парабола "растет" в обоих направлениях).

Таким образом, промежуток возрастания функции будет \((-\infty, 1)\).

6) Чтобы найти значение \(x\), при котором \(y\) максимально или минимально, мы смотрим на вершину параболы. В этой точке \(x\) достигает минимума или максимума. Вершина параболы у нас уже найдена и равна \((1, -9)\). Следовательно, функция достигает минимума при \(x = 1\) и значение \(y\) в этой точке равно -9.

Теперь у нас есть полное решение по задаче. Мы построили график функции \(y = x^2 - 2x - 8\), определили область значений функции \((- \infty, -9)\), промежуток возрастания функции \((-\infty, 1)\), и значение \(x\), при котором \(y\) минимально, равное 1.