Каким образом можно показать, что функция y=cos 2/3x обладает периодичностью с периодом t=3п?

Чтобы показать, что функция \(y = \cos\left(\frac{2}{3}x\right)\) обладает периодичностью с периодом \(t = 3\pi\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Обратимся к определению периодичности функции. Функция \(f(x)\) называется периодической с периодом \(T\), если для каждого значения \(x\) выполняется условие \(f(x+T) = f(x)\). В данном случае, нам нужно показать, что \(\cos\left(\frac{2}{3}(x+3\pi)\right) = \cos\left(\frac{2}{3}x\right)\) для любого значения \(x\).

2. Применим основное тригонометрическое тождество \(\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\). Используя это тождество, мы можем преобразовать левую часть уравнения:
\[\cos\left(\frac{2}{3}(x+3\pi)\right) = \cos\left(\frac{2}{3}x + 2\pi\right) = \cos\left(\frac{2}{3}x\right)\cos(2\pi) - \sin\left(\frac{2}{3}x\right)\sin(2\pi)\]

3. Так как \(\cos(2\pi) = 1\) и \(\sin(2\pi) = 0\), обновим уравнение:
\[\cos\left(\frac{2}{3}(x+3\pi)\right) = \cos\left(\frac{2}{3}x\right) \cdot 1 - \sin\left(\frac{2}{3}x\right) \cdot 0 = \cos\left(\frac{2}{3}x\right)\]

4. Теперь видим, что \(\cos\left(\frac{2}{3}(x+3\pi)\right) = \cos\left(\frac{2}{3}x\right)\), что говорит о том, что функция \(y = \cos\left(\frac{2}{3}x\right)\) действительно обладает периодичностью с периодом \(t = 3\pi\).

Таким образом, было показано, что функция \(y = \cos\left(\frac{2}{3}x\right)\) обладает периодичностью с периодом \(t = 3\pi\).