Каким образом можно подтвердить, что последовательность, определенная выражением для n-го члена an= frac{2n+9}{n+3

Чтобы подтвердить, что данная последовательность является убывающей, нужно проанализировать ее элементы и найти закономерность.

Давайте для начала найдем первые несколько членов последовательности. Для этого мы можем подставить различные значения n и вычислить соответствующие значения an.

Для n = 1:
a1 = \frac{2\cdot1+9}{1+3} = \frac{11}{4} = 2.75

Для n = 2:
a2 = \frac{2\cdot2+9}{2+3} = \frac{13}{5} = 2.6

Для n = 3:
a3 = \frac{2\cdot3+9}{3+3} = \frac{15}{6} = 2.5

Мы получили первые три члена последовательности. Похоже, что значения последовательности уменьшаются при увеличении значения n. Теперь давайте посмотрим, как меняется соотношение между двумя последовательными членами.

Рассмотрим отношение a(n+1) / an для произвольного n. Подставим нашу формулу в это отношение:

\frac{(2(n+1)+9)}{(n+1+3)} / \frac{2n+9}{n+3}

Упростим это выражение:

\frac{2n+11}{n+4} \cdot \frac{n+3}{2n+9}

Раскроем скобки:

\frac{2n^2+8n+33}{2n^2+15n+36}

Как мы видим, числитель и знаменатель не имеют общих множителей, то есть данный дробь не может быть упрощена. Это значит, что отношение a(n+1) / an для произвольного n не равно 1.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что последовательность является убывающей, поскольку каждый последующий член меньше предыдущего.

Надеюсь, этот подробный и обоснованный ответ поможет вам понять, почему данная последовательность является убывающей.