Для натуральных чисел a и b, где (a,b)=1, какое максимальное значение может иметь (a+100b,100a+b)?

Чтобы решить данную задачу, давайте рассмотрим значения выражений \(a+100b\) и \(100a+b\) для различных натуральных чисел \(a\) и \(b\), где \((a,b)=1\).

Предположим, у нас есть числа \(a\) и \(b\) такие, что их НОД (наибольший общий делитель) равен 1. Мы знаем, что если два числа имеют НОД, равный 1, то они не имеют общих простых делителей (кроме 1). Это означает, что \(a\) и \(b\) не делятся друг на друга без остатка.

Итак, давайте рассмотрим выражение \(a+100b\). Мы можем записать его в виде \(100b+a\). Обратите внимание, что в этом выражении число \(a\) будет находиться в позиции единиц, а \(b\) - в позиции сотен.

Теперь давайте рассмотрим выражение \(100a+b\). В этом выражении число \(a\) будет находиться в позиции сотен, а \(b\) - в позиции единиц.

Мы видим, что числа \(a\) и \(b\) занимают разные позиции в каждом из выражений. Так как \(a\) и \(b\) не имеют общих простых делителей, то мы можем максимизировать значение каждого из выражений, увеличивая значения \(a\) и \(b\) наибольшим образом.

Предположим, что мы возьмем \(a=1\) и \(b=1\). Тогда \(a+100b=1+100\cdot1=101\), а \(100a+b=100\cdot1+1=101\).

Мы видим, что это максимальное возможное значение для обоих выражений. Таким образом, для натуральных чисел \(a\) и \(b\), где \((a,b)=1\), максимальное значение, которое могут иметь выражения \((a+100b,100a+b)\), равно 101.