Каким образом можно найти решение для системы уравнений { x^2+y^2=10 { x^2-2xy+y^2=16?

Для решения данной системы уравнений можно использовать метод подстановки. Давайте начнем:

1. Первое уравнение системы:
\(x^2 + y^2 = 10\) --- Уравнение 1

2. Второе уравнение системы:
\(x^2 - 2xy + y^2 = 16\) --- Уравнение 2

Для начала мы можем решить Уравнение 1 относительно одной переменной, чтобы получить значение этой переменной в зависимости от другой переменной, а затем использовать это значение в Уравнение 2.

Используя Уравнение 1, выразим x через y:
\[x^2 = 10 - y^2\]
\[x = \sqrt{10 - y^2} \] или \[x = -\sqrt{10 - y^2}\] --- Уравнение 3

Теперь мы можем подставить выражение для x из Уравнения 3 в Уравнение 2:
\[(\sqrt{10 - y^2})^2 - 2(\sqrt{10 - y^2})y + y^2 = 16\] или \[(-\sqrt{10 - y^2})^2 - 2(-\sqrt{10 - y^2})y + y^2 = 16\]

Упростим каждое из уравнений выше и найдем значения переменной y:

Для первого уравнения:
\[10 - y^2 - 2y\sqrt{10 - y^2} + y^2 = 16\]
\[-2y\sqrt{10 - y^2} = 6\]
\[y\sqrt{10 - y^2} = -3\] --- Уравнение 4

Для второго уравнения:
\[10 - y^2 + 2y\sqrt{10 - y^2} + y^2 = 16\]
\[2y\sqrt{10 - y^2} = 6\]
\[y\sqrt{10 - y^2} = 3\] --- Уравнение 5

Теперь возможны два случая:

Случай 1: Решим Уравнение 4 относительно y:

\[y\sqrt{10 - y^2} = -3\]
\[y^2(10 - y^2) = 9\]
\[y^4 - 10y^2 + 9 = 0\]

Используя замену переменных, мы можем представить это уравнение в виде квадратного уравнения относительно \(y^2\):
\[z^2 - 10z + 9 = 0\]
\[(z - 9)(z - 1) = 0\]

Таким образом, либо \(z - 9 = 0\), либо \(z - 1 = 0\). Решая эти уравнения, получим два возможных значения для z:

\(z_1 = 9\) и \(z_2 = 1\)

Подставим обратно в \(y^2\):

\[y^2 = 9\] или \[y^2 = 1\]

Для случая \(y^2 = 9\):
\[y_1 = \sqrt{9}\] или \[y_2 = -\sqrt{9}\]
\[y_1 = 3 \] или \[y_2 = -3 \]

Для случая \(y^2 = 1\):
\[y_3 = \sqrt{1}\] или \[y_4 = -\sqrt{1}\]
\[y_3 = 1 \] или \[y_4 = -1 \]

Теперь, используя найденные значения y, найдем соответствующие значения x, подставив их в Уравнение 3:

Для \(y = 3\):
\[x = \sqrt{10 - (3)^2}\] или \[x = -\sqrt{10 - (3)^2}\]
\[x = \sqrt{10 - 9}\] или \[x = -\sqrt{10 - 9}\]
\[x = \sqrt{1}\] или \[x = -\sqrt{1}\]
\[x = 1\] или \[x = -1\]

Для \(y = -3\):
\[x = \sqrt{10 - (-3)^2}\] или \[x = -\sqrt{10 - (-3)^2}\]
\[x = \sqrt{10 - 9}\] или \[x = -\sqrt{10 - 9}\]
\[x = \sqrt{1}\] или \[x = -\sqrt{1}\]
\[x = 1\] или \[x = -1\]

Для \(y = 1\):
\[x = \sqrt{10 - (1)^2}\] или \[x = -\sqrt{10 - (1)^2}\]
\[x = \sqrt{10 - 1}\] или \[x = -\sqrt{10 - 1}\]
\[x = \sqrt{9}\] или \[x = -\sqrt{9}\]
\[x = 3\] или \[x = -3\]

Для \(y = -1\):
\[x = \sqrt{10 - (-1)^2}\] или \[x = -\sqrt{10 - (-1)^2}\]
\[x = \sqrt{10 - 1}\] или \[x = -\sqrt{10 - 1}\]
\[x = \sqrt{9}\] или \[x = -\sqrt{9}\]
\[x = 3\] или \[x = -3\]

Таким образом, решение системы уравнений состоит из четырех точек:
\((x,y) = (1,3)\), \((x,y) = (-1,-3)\), \((x,y) = (3,1)\), \((x,y) = (-3,-1)\)

Надеюсь, этот пошаговый ответ был понятен. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, обратитесь!