Каким образом можно доказать, что число log4 является иррациональным?

Для доказательства того, что число \(\log_4\) является иррациональным, мы можем использовать метод доказательства от противного.

Предположим, что \(\log_4\) является рациональным числом. Это значит, что оно может быть представлено в виде дроби \(\frac{p}{q}\), где \(p\) и \(q\) - целые числа, а \(q \neq 0\). То есть, \(\log_4 = \frac{p}{q}\).

Возведем число 4 в степень, представленную дробью \(\frac{p}{q}\):

\[4^{\frac{p}{q}} = 2^{\frac{2p}{q}} = 2^{\frac{p}{q}} \cdot 2^{\frac{p}{q}}\]

Так как мы знаем, что \(2^{\frac{p}{q}}\) равно \(\log_4\) (т.к. это было исходное предположение), мы можем записать:

\[4^{\frac{p}{q}} = \log_4 \cdot \log_4 = (\log_4)^2\]

Теперь давайте рассмотрим значения выражений \((\log_4)^2\) и \(4^{\frac{p}{q}}\).

Если \(\log_4\) было бы рациональным числом, то \((\log_4)^2\) также было бы рациональным, так как квадрат рационального числа всегда остается рациональным.

Однако, мы знаем, что значение \(4^{\frac{p}{q}}\) равно 4 в степени, представленной рациональной дробью \(\frac{p}{q}\). Значит, \(4^{\frac{p}{q}}\) также является рациональным числом.

Таким образом, если мы предположим, что \(\log_4\) является рациональным числом, то получаем противоречие: одна и та же величина \(4^{\frac{p}{q}}\) является и рациональной, и иррациональной одновременно.

Это противоречие означает, что предположение о том, что \(\log_4\) является рациональным числом, неверно, и наше исходное утверждение - что \(\log_4\) является иррациональным числом - верно.