Каким будет общий вид первообразной для функции f(x) = 6/5√4x+2 + 1/cos^2?

Хорошо, чтобы найти общий вид первообразной функции \(f(x) = \frac{6}{5\sqrt{4x+2}} + \frac{1}{{\cos^2{x}}}\), мы можем использовать метод интегрирования.

Для первой части функции, \(\frac{6}{5\sqrt{4x+2}}\), мы можем использовать формулу замены переменной. Давайте заменим \(u = 4x+2\). Тогда, выразив \(x\) через \(u\), получим \(x = \frac{u-2}{4}\).

Теперь мы должны также выразить \(dx\) через \(du\). Дифференцируя \(u = 4x+2\), получим \(du = 4dx\), откуда \(dx = \frac{du}{4}\).

Теперь можем заменить переменные в исходной функции:

\[ \frac{6}{5\sqrt{4x+2}} = \frac{6}{5\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{10\sqrt{u}} \]

Аналогично рассмотрим вторую часть функции \( \frac{1}{{\cos^2{x}}} \). Мы знаем, что \( \cos^2{x} \) имеет тождественный интеграл \( \tan{x} \), поэтому наша функция становится:

\[ \frac{3}{10\sqrt{u}} + \tan{x} \]

Теперь можем выразить \( x \) через \( u \):

\[ \tan{x} = \tan{(\arccos{(\frac{u-2}{4})})} \]

Косинус и арккосинус образуют обратную функцию, поэтому они сокращаются, и мы получаем:

\[ \tan{x} = \frac{u-2}{4} \]

Таким образом, общий вид первообразной функции \( f(x) \) равен:

\[ \int f(x) \, dx = \frac{3}{10\sqrt{u}} + \frac{u-2}{4} + C \]

где \( C \) - произвольная константа. А затем при подстановке переменной \( u \) обратно через \( x \) мы получаем:

\[ \int f(x) \, dx = \frac{3}{10\sqrt{4x+2}} + \frac{4x}{4} - \frac{2}{4} + C \]

или, сокращая:

\[ \int f(x) \, dx = \frac{3}{10\sqrt{4x+2}} + x - \frac{1}{2} + C \]

Вот общий вид первообразной функции \( f(x) \).

Пожалуйста, обратите внимание, что \( C \) - это произвольная константа, которую мы добавляем при интегрировании, так как производная постоянной равна нулю.