Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если поменять местами позиции двух векторов в первом базисе?

Для начала, давайте вспомним, что такое матрица перехода от одного базиса к другому. Когда мы имеем два базиса векторного пространства, скажем, первый базис состоит из векторов \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\), а второй базис состоит из векторов \(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_n\), матрица перехода от первого базиса ко второму даёт нам информацию о том, как записать векторы из первого базиса в терминах векторов из второго базиса.

Теперь давайте разберемся, как изменится матрица перехода, если поменять местами позиции двух векторов в первом базисе. Предположим, что мы меняем местами позиции \(i\) и \(j\) в первом базисе, где \(i\) и \(j\) - два индекса в диапазоне от 1 до \(n\).

Обозначим оставшиеся векторы первого базиса как \(\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_{i-1}, \mathbf{v}_{i+1}, \ldots, \mathbf{v}_{j-1}, \mathbf{v}_{j+1}, \ldots, \mathbf{v}_n\). Используя эти векторы и второй базис \(\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_n\), мы можем выразить измененные векторы первого базиса в терминах векторов из второго базиса.

Полученные выражения для измененных векторов первого базиса будут следующими:

\[
\begin{align*}
\mathbf{v}_i &= a_{i1}\mathbf{u}_1 + a_{i2}\mathbf{u}_2 + \ldots + a_{in}\mathbf{u}_n \\
\mathbf{v}_j &= a_{j1}\mathbf{u}_1 + a_{j2}\mathbf{u}_2 + \ldots + a_{jn}\mathbf{u}_n \\
\end{align*}
\]

Теперь вспомним, что матрица перехода от первого базиса ко второму - это матрица, состоящая из коэффициентов при векторах второго базиса в этих выражениях. В частности, \(i\)-й столбец этой матрицы будет содержать коэффициенты \(a_{i1}, a_{i2}, \ldots, a_{in}\), а \(j\)-й столбец будет содержать коэффициенты \(a_{j1}, a_{j2}, \ldots, a_{jn}\).

Когда мы меняем местами позиции двух векторов в первом базисе, то меняем местами столбцы матрицы перехода. Следовательно, в результате такой замены позиций, \([i, j]\)-й столбец матрицы перехода станет \([j, i]\)-м столбцом, и наоборот.

Таким образом, в матрице перехода от первого базиса к первому базису, если поменять местами позиции двух векторов, меняются местами соответствующие столбцы этой матрицы.

Надеюсь, объяснение было понятным и помогло разобраться в данной теме. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.