Какие значения x являются критическими точками функции f(x) = x^3 - |x

Хорошо, давайте разберемся с задачей. Нам нужно определить критические точки функции \(f(x) = x^3 - |x|\). Критические точки являются точками на графике функции, где происходит изменение поведения функции.

Для начала, давайте найдем производную функции \(f(x)\) для определения точек экстремума. Для этого нам потребуется использовать правило дифференцирования.

\[f"(x) = 3x^2 - \frac{x}{|x|}\]

Теперь давайте установим производную функции равной нулю и найдем значения \(x\), для которых \(f"(x) = 0\):

\[3x^2 - \frac{x}{|x|} = 0\]

Мы можем умножить обе части уравнения на \(|x|\), чтобы избавиться от абсолютной величины:

\[3x^2|x| - x = 0\]

На данном этапе у нас появляется несколько возможных случаев, в зависимости от значения \(x\). Рассмотрим каждый из них отдельно.

1. Если \(x > 0\), то \(|x| = x\):

\[3x^2x - x = 0\]

Получаем:

\[3x^3 - x = 0\]

\[x(3x^2 - 1) = 0\]

Отсюда можно вывести два значения \(x\):

a) \(x = 0\)

b) \(3x^2 - 1 = 0 \Rightarrow 3x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}\)

2. Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\):

\[3x^2(-x) - x = 0\]

Получаем:

\[-3x^3 - x = 0\]

\[x(-3x^2 - 1) = 0\]

Отсюда мы также получаем два значения \(x\):

a) \(x = 0\)

b) \(-3x^2 - 1 = 0 \Rightarrow 3x^2 = -1 \Rightarrow x^2 = -\frac{1}{3}\), что является невозможным, так как отрицательное число не может иметь квадрат.

Итак, мы получили следующие значения \(x\) в качестве критических точек функции \(f(x) = x^3 - |x|\):

\(x = 0\) и \(x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}\).

Надеюсь, это помогло вам понять, как найти критические точки для данной функции. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!