Какие значения x являются корнями уравнения x^3+6x^2+12x+9=0?

Чтобы найти корни уравнения \(x^3+6x^2+12x+9=0\), нам потребуется использовать метод решения уравнений или его различные варианты.

Мы можем применить метод "подбора" корней или использовать формулу корней кубического уравнения.

Давайте попробуем применить метод "подбора" корней. Для этого мы можем использовать рациональные числа, которые могут быть корнями данного уравнения, в соответствии с правилом Рационального корня. Правило Рационального корня утверждает, что если рациональное число \(\frac{p}{q}\) является корнем уравнения, то \(p\) является делителем свободного члена \(9\), а \(q\) является делителем коэффициента при старшей степени \(1\).

Коэффициенты при \(x^2\) и \(x\) положительные, а свободный член положительный. Поэтому, если у нас есть рациональный корень, он должен быть отрицательным.

Давайте приступим к подбору корней, начиная с отрицательных рациональных чисел, чтобы найти все значения \(x\), являющиеся корнями данного уравнения. Проверим числа от \(-1\) до \(-9\), так как перед свободным членом стоит \(1\), а \(9\) является делителем \(9\).

1. Попробуем значение \(x=-1\):
Подставим \(x=-1\) в уравнение:
\((-1)^3+6(-1)^2+12(-1)+9 = -1+6+(-12)+9 = 2\).
Значение не равно \(0\), поэтому \(x=-1\) не является корнем.

2. Попробуем значение \(x=-2\):
Подставим \(x=-2\) в уравнение:
\((-2)^3+6(-2)^2+12(-2)+9 = -8+24+(-24)+9 = 1\).
Значение не равно \(0\), поэтому \(x=-2\) не является корнем.

3. Попробуем значение \(x=-3\):
Подставим \(x=-3\) в уравнение:
\((-3)^3+6(-3)^2+12(-3)+9 = -27+54+(-36)+9 = 0\).
Значение равно \(0\), поэтому \(x=-3\) является корнем.

Так как у нас получился корень \(x=-3\), мы можем записать уравнение в виде:
\((x+3)(x^2+3x+3)=0\).

Теперь нам нужно найти корни для уравнения \(x^2+3x+3=0\).

Для этого мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{{2a}}\]

Подставим значения \(a=1\), \(b=3\) и \(c=3\) в формулу:

\[x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2-4(1)(3)}}{{2(1)}}\]
\[x = \frac{-3 \pm \sqrt{9-12}}{{2}}\]
\[x = \frac{-3 \pm \sqrt{-3}}{{2}}\]

Извлечение квадратного корня из отрицательного числа вещественных корней не даёт, поэтому уравнение \(x^2+3x+3=0\) не имеет вещественных корней.

Таким образом, корнями данного уравнения \(x^3+6x^2+12x+9=0\) является только \(x=-3\).