Какие значения x в точках пересечения графиков функции f(x)=8(cos^2)x+6sinxcosx и прямой y=7? Ответ предоставить

Для решения данной задачи необходимо найти точки пересечения графиков функции \(f(x) = 8\cos^2x + 6\sin x\cos x\) и прямой \(y = 7\). Идея состоит в том, чтобы приравнять значения \(f(x)\) и \(y\) и решить полученное уравнение для нахождения значений \(x\).

1. Начнем с уравнения:
\[8\cos^2x + 6\sin x\cos x = 7\]

2. С помощью тригонометрических тождеств мы можем переписать \(\cos^2x\) как \(1 - \sin^2x\). Подставим это в уравнение и упростим его:
\[8(1 - \sin^2x) + 6\sin x\cos x = 7\]
\[8 - 8\sin^2x + 6\sin x\cos x = 7\]

3. Перебросим все члены в одну сторону уравнения, чтобы получить уравнение в виде равенства нулю:
\[8\sin^2x - 6\sin x\cos x - 1 = 0\]

4. Теперь мы можем попытаться решить это уравнение. Однако, поскольку оно содержит произведение тригонометрических функций, наиболее удобным способом решения будет использование тригонометрической формулы двойного угла.

5. Согласно формуле двойного угла для синуса \(2\sin x\cos x = \sin(2x)\), мы можем заменить \(6\sin x\cos x\) в уравнении:
\[8\sin^2x - 6\sin x\cos x - 1 = 8\sin^2x - \sin(2x) - 1 = 0\]

6. Полученное уравнение стало более простым и теперь можно попытаться решить его. Однако, это квадратное уравнение относительно \(\sin x\). Давайте обозначим \(\sin x\) как переменную \(t\) и перепишем уравнение:
\[8t^2 - \sin(2x) - 1 = 0\]

7. После замены переменной, получили квадратное уравнение \(8t^2 - \sin(2x) - 1 = 0\), которое можно решить стандартным способом.

8. Решив уравнение для \(t\), найдем значения \(\sin x\) и, затем, с помощью обратной функции arcsin(x) найдем значения \(x\).

9. После нахождения всех корней уравнения, подставим их в уравнение \(y = 7\) для нахождения соответствующих значения \(y\).

Таким образом, чтобы определить значения \(x\) в точках пересечения графиков функции \(f(x) = 8\cos^2x + 6\sin x\cos x\) и прямой \(y = 7\), необходимо решить полученное уравнение с использованием тригонометрических свойств и процедур решения квадратных уравнений.