Какие значения x удовлетворяют уравнению sin3x = sqrt(2)/2 на заданном интервале?

Уравнение \(\sin{3x} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) можно решить, используя знания о тригонометрических функциях и свойствах.

1. Начнем с того, что найдем все значения угла \(\alpha\), для которых \(\sin{\alpha} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Такие значения угла можно найти, используя специальные углы в треугольнике, такие как: \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{5\pi}{4}\), \(\frac{9\pi}{4}\) и т.д. Эти значения соответствуют углам, для которых величина синуса равна \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

2. Теперь заметим, что в уравнении \(\sin{3x}\), угол \(3x\) должен иметь те же значения, то есть: \(3x = \frac{\pi}{4}\), \(3x = \frac{5\pi}{4}\), \(3x = \frac{9\pi}{4}\) и т.д.

Для решения уравнений вида \(3x = \alpha\) необходимо разделить обе части на 3, получая следующие значения \(x\):

\[x_1 = \frac{\pi}{12}, \quad x_2 = \frac{5\pi}{12}, \quad x_3 = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4} \quad \text{и т.д.}\]

Таким образом, мы нашли первые три значения \(x\) на интервале 0 до \(2\pi\), которые удовлетворяют уравнению \(\sin{3x} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

3. Однако интервал для \(x\) в задаче задан более конкретно. Данный интервал (от 0 до \(2\pi\)) содержит только первое решение \(x_1 = \frac{\pi}{12}\).
Таким образом, на заданном интервале существует только одно решение уравнения \(\sin{3x} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), и оно равно \(x = \frac{\pi}{12}\).

Итак, ответом на задачу является значение \(x = \frac{\pi}{12}\), которое удовлетворяет уравнению \(\sin{3x} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) на заданном интервале от 0 до \(2\pi\).