Какие значения x удовлетворяют уравнению cosx=(cos x/2 - sin x/2)^2-1 и находятся в интервале (π/2

Давайте решим данное уравнение подробно.

У нас дано уравнение: \(\cos x = \left(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}\right)^2 - 1\) и требуется найти значения \(x\), которые удовлетворяют данному уравнению и находятся в интервале \(\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\).

1. Начнем с приведения уравнения к более удобному виду. Возведем \(\left(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}\right)^2 - 1\) в квадрат:

\(\cos^2 x = \left(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}\right)^4 - 2\left(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}\right)^2 + 1\).

2. Раскроем скобки в правой части уравнения:

\(\cos^2 x = \cos^4\frac{x}{2} - 2\cos^2\frac{x}{2}\sin^2\frac{x}{2} + \sin^4\frac{x}{2} - 2\cos^2\frac{x}{2} + 4\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2} - 2 + 1\).

3. Упростим выражение:

\(\cos^2 x = \cos^4\frac{x}{2} + \sin^4\frac{x}{2} - 2\cos^2\frac{x}{2}\sin^2\frac{x}{2} - 2\cos^2\frac{x}{2} + 4\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2} - 1\).

4. Теперь заметим, что \(\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2} = 1\) (тождество Пифагора). Заменим это выражение в уравнении:

\(\cos^2 x = \cos^4\frac{x}{2} + (1 - \cos^2\frac{x}{2})^2 - 2\cos^2\frac{x}{2}(1 - \cos^2\frac{x}{2}) - 2\cos^2\frac{x}{2} + 4\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2} - 1\).

5. Упростим выражение, раскроем скобки и объединим подобные слагаемые:

\(\cos^2 x = \cos^4\frac{x}{2} + 1 - 2\cos^2\frac{x}{2} + \cos^4\frac{x}{2} - 2\cos^4\frac{x}{2} + 2\cos^6\frac{x}{2} - 2\cos^2\frac{x}{2} + 4\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2} - 1\).

6. После объединения подобных слагаемых получим:

\(\cos^2 x = 3\cos^4\frac{x}{2} + 2\cos^6\frac{x}{2} + 4\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2}\).

7. Теперь заметим, что \(\cos x = 1 - 2\sin^2\frac{x}{2}\). Заменим это выражение в уравнении:

\(1 - 2\sin^2 x = 3(1 - 2\sin^2\frac{x}{2})^2 + 2(1 - 2\sin^2\frac{x}{2})^3 + 4(1 - 2\sin^2\frac{x}{2})\sin\frac{x}{2}\).

8. Раскроем скобки и упростим получившееся уравнение:

\(1 - 2\sin^2 x = 3(1 - 4\sin^2\frac{x}{2} + 4\sin^4\frac{x}{2}) + 2(1 - 6\sin^2\frac{x}{2} + 12\sin^4\frac{x}{2} - 8\sin^6\frac{x}{2}) + 4\sin\frac{x}{2} - 8\sin^3\frac{x}{2}\).

9. Упростим еще больше:

\(1 - 2\sin^2 x = 3 - 12\sin^2\frac{x}{2} + 12\sin^4\frac{x}{2} + 2 - 12\sin^2\frac{x}{2} + 24\sin^4\frac{x}{2} - 16\sin^6\frac{x}{2} + 4\sin\frac{x}{2} - 8\sin^3\frac{x}{2}\).

10. Объединим подобные слагаемые:

\(1 - 2\sin^2 x = 5 - 24\sin^2\frac{x}{2} + 36\sin^4\frac{x}{2} - 8\sin^6\frac{x}{2} + 4\sin\frac{x}{2} - 8\sin^3\frac{x}{2}\).

11. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

\(0 = 4\sin^6\frac{x}{2} + 8\sin^3\frac{x}{2} - 26\sin^4\frac{x}{2} + 22\sin^2\frac{x}{2} - 4\sin\frac{x}{2} + 4\).

12. Попробуем привести уравнение к более простому виду. Заметим, что \(\sin^2\frac{x}{2} = 1 - \cos^2\frac{x}{2}\). Заменим это выражение в уравнении:

\(0 = 4\left(1 - \cos^2\frac{x}{2}\right)^3 + 8\left(1 - \cos^2\frac{x}{2}\right)\left(1 - \cos^2\frac{x}{2}\right) - 26\left(1 - \cos^2\frac{x}{2}\right)^2 + 22\left(1 - \cos^2\frac{x}{2}\right) - 4\sqrt{1 - \cos^2\frac{x}{2}} + 4\).

13. Заметим, что \(\cos^2\frac{x}{2} = 1 - \sin^2\frac{x}{2}\). Заменим это выражение в уравнении:

\(0 = 4\left(1 - (1 - \sin^2\frac{x}{2})\right)^3 + 8\left(1 - (1 - \sin^2\frac{x}{2})\right)\left(1 - (1 - \sin^2\frac{x}{2})\right) - 26\left(1 - (1 - \sin^2\frac{x}{2})\right)^2 + 22\left(1 - (1 - \sin^2\frac{x}{2})\right) - 4\sqrt{1 - (1 - \sin^2\frac{x}{2})} + 4\).

14. Упростим выражение:

\(0 = 4\sin^6\frac{x}{2} - 16\sin^4\frac{x}{2} + 12\sin^2\frac{x}{2} + 4\sin\frac{x}{2} - 4\).

15. Вынесем общий множитель и поделим уравнение на 4:

\(0 = \sin^6\frac{x}{2} - 4\sin^4\frac{x}{2} + 3\sin^2\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2} - 1\).

16. Перепишем уравнение в виде квадратного трехчлена:

\(\sin^6\frac{x}{2} - 4\sin^4\frac{x}{2} + 3\sin^2\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2} - 1 = 0\).

Теперь мы получили уравнение, которое может быть решено методом подстановок или с помощью графического метода. Ответом будут значения \(x\), которые удовлетворяют данному уравнению и находятся в интервале \(\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\). Надеюсь, что данное пошаговое решение было понятно для вас.