Какие значения x удовлетворяют неравенству с интервалов (2x-1)(x+9

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо определить значения \(x\), которые удовлетворяют данному неравенству \((2x-1)(x+9)\).

Для начала, давайте разберемся с произведением \((2x-1)(x+9)\). Мы можем упростить его, используя метод раскрытия скобок:

\[
(2x-1)(x+9) = 2x^2 + 18x - x - 9 = 2x^2 + 17x - 9.
\]

Итак, мы получили квадратное уравнение \(2x^2 + 17x - 9\).

Чтобы приступить к решению неравенства, нам нужно найти корни этого уравнения. Для этого мы можем использовать факторизацию или квадратное уравнение:

\[
2x^2 + 17x - 9 = 0.
\]

Однако, поскольку мы хотим узнать значения \(x\), которые удовлетворяют неравенству, а не уравнению, давайте продолжим, прежде всего, нахождение корней этого уравнения.

Для начала, мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы проверить, имеет ли уравнение вещественные корни. Формула дискриминанта выглядит следующим образом:

\[
D = b^2 - 4ac.
\]

В нашем случае, \(a = 2\), \(b = 17\), и \(c = -9\):

\[
D = (17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 289 + 72 = 361.
\]

Поскольку дискриминант \(D\) равен положительному числу 361, уравнение имеет два вещественных корня. Теперь мы можем использовать квадратные корни для нахождения корней уравнения. Формула для квадратных корней выглядит следующим образом:

\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}.
\]

Подставим значения в формулу:

\[
x = \frac{{-17 \pm \sqrt{361}}}{{2 \cdot 2}}.
\]

После упрощения получим:

\[
x = \frac{{-17 \pm 19}}{{4}}.
\]

Теперь мы получили два значения \(x\):

\[
x_1 = \frac{{-17 + 19}}{{4}} = \frac{{2}}{{4}} = \frac{{1}}{{2}},
\]

\[
x_2 = \frac{{-17 - 19}}{{4}} = \frac{{-36}}{{4}} = -9.
\]

Итак, корни данного уравнения равны \(\frac{{1}}{{2}}\) и \(-9\).

Теперь, чтобы определить значения \(x\), которые удовлетворяют исходному неравенству, мы должны проверить, в каких интервалах эти значения находятся. Для этого будем рассматривать каждую часть неравенства по отдельности.

Первая часть неравенства: \((2x-1)(x+9) > 0\).

Чтобы решить это неравенство, воспользуемся методом интервалов. Нам понадобятся значения \(x\), при которых выражение \((2x-1)(x+9)\) будет положительным.

Для этого мы заметим, что когдау \(2x-1 > 0\) и \(x+9 > 0\), то \((2x-1)(x+9) > 0\).

1) Когда \(2x-1 > 0\), то \(x > \frac{1}{2}\).

2) Когда \(x+9 > 0\), то \(x > -9\).

Теперь мы можем получить интервалы, в которых выражение \((2x-1)(x+9)\) положительно: \(x > \frac{1}{2}\) и \(x > -9\).

Совмещая эти два интервала, мы получаем, что значения \(x\), удовлетворяющие первой части неравенства, находятся в интервале \(x > \frac{1}{2}\).

Вторая часть неравенства: \((2x-1)(x+9) < 0\).

Мы можем использовать тот же метод интервалов для определения значений \(x\), при которых выражение \((2x-1)(x+9)\) отрицательно.

1) Когда \(2x-1 < 0\), то \(x < \frac{1}{2}\).

2) Когда \(x+9 < 0\), то \(x < -9\).

Объединяя эти два интервала, мы получаем, что значения \(x\), удовлетворяющие второй части неравенства, находятся в интервале \(x < -9\).

Итак, чтобы удовлетворить исходное неравенство \((2x-1)(x+9)\), значения \(x\) должны быть в интервале \(x > \frac{1}{2}\) или \(x < -9\).

Надеюсь, данное пошаговое объяснение помогло вам понять, как определить значения \(x\), удовлетворяющие данному неравенству \((2x-1)(x+9)\). Если у вас есть еще вопросы или если что-то не ясно, пожалуйста, дайте мне знать!