Дайте пример однородного симметрического многочлена с двумя переменными степени n в следующих случаях: 1) n = 1; 2

Конечно! Давайте рассмотрим каждый случай по отдельности.

1) При \(n = 1\) однородный симметрический многочлен с двумя переменными будет иметь степень 1. Возьмем переменные \(x\) и \(y\). Однородный симметрический многочлен выглядит следующим образом:

\[f(x, y) = x^1 y^0 + x^0 y^1\]

Здесь каждое слагаемое представляет собой один из возможных мономов. Он содержит либо только \(x\), либо только \(y\), но не одновременно.

2) При \(n = 2\) однородный симметрический многочлен с двумя переменными будет иметь степень 2. Используя переменные \(x\) и \(y\), мы можем составить такой многочлен:

\[f(x, y) = x^2 y^0 + x^1 y^1 + x^0 y^2\]

В данном случае, мы представляем все возможные мономы второй степени, где каждый моном содержит одну из переменных в качестве базы, а показатели степени 0, 1 и 2.

3) При \(n = 3\) однородный симметрический многочлен с двумя переменными будет иметь степень 3. Используя переменные \(x\) и \(y\), мы можем составить такой многочлен:

\[f(x, y) = x^3 y^0 + x^2 y^1 + x^1 y^2 + x^0 y^3\]

Здесь мы представляем все возможные мономы третьей степени, где каждый моном содержит одну из переменных в качестве базы, а показатели степени - 0, 1, 2 и 3.

Таким образом, мы получаем примеры однородных симметрических многочленов с двумя переменными степени \(n\) для случаев \(n = 1\), \(n = 2\) и \(n = 3\).