Какие значения x приводят к монотонности функции y = √(3 + 5x)?

Для определения значений x, при которых функция y = √(3 + 5x) монотонна, мы должны проанализировать производную этой функции. Если производная положительна на определенном интервале, то функция возрастает на этом интервале. Если же производная отрицательна на определенном интервале, то функция убывает на этом интервале.

Давайте начнем с нахождения производной функции y = √(3 + 5x). Воспользуемся правилом дифференцирования функции корня:

\(\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{{2\sqrt{{3 + 5x}}}} \cdot (5)\)

Упрощая это выражение, мы получаем:

\(\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{5}{{2\sqrt{{3 + 5x}}}}\)

Теперь нам нужно найти значения x, при которых производная равна нулю (то есть точки экстремума) или производная не определена (то есть вертикальные асимптоты). Как мы видим, производная никогда не равна нулю, так как числитель равен 5 (положительное число), а знаменатель всегда положителен. Значит, у функции нет точек экстремума.

Теперь проверим, есть ли у функции вертикальные асимптоты. Чтобы определить, где функция не определена, нам нужно проверить значения x, которые делают знаменатель равным нулю. В нашем случае знаменатель равен \(2\sqrt{{3 + 5x}}\). Чтобы найти значения x, при которых знаменатель равен нулю, мы должны решить уравнение:

\(2\sqrt{{3 + 5x}} = 0\)

Домножая обе части на \(\sqrt{{3 + 5x}}\), получаем:

\(2(3 + 5x) = 0\)

Раскрывая скобки, мы получаем:

\(6 + 10x = 0\)

Вычитая 6 из обеих сторон, получаем:

\(10x = -6\)

Делим обе части на 10, чтобы найти значение x:

\(x = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}\)

Теперь мы знаем, что функция не определена при \(x = -\frac{3}{5}\) (вертикальная асимптота), и функция монотонно возрастает на всем остальном диапазоне значений x.