Данная функция имеет вид y=25−x2. Постройте график функции y=25−x2. а) Значение координаты вершины параболы

Решение:

а) Чтобы построить график функции \(y = 25 - x^2\), мы должны найти координаты вершины параболы. Для этого нам нужно найти значение аргумента \(x\) и подставить его в уравнение функции.

Формула для нахождения координаты \(x\) вершины параболы в виде \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты при \(x^2\) и \(x\) соответственно. В нашем случае \(a = -1\) и \(b = 0\), поэтому \(x = -\frac{0}{2(-1)} = 0\).

Далее, чтобы найти значение координаты \(y\) вершины параболы, мы просто подставим значение \(x\) в уравнение функции: \(y = 25 - (0)^2 = 25\).

Таким образом, координаты вершины параболы равны \(x = 0\) и \(y = 25\).

б) Для определения, при каких значениях аргумента \(x\) значения функции \(y\) являются положительными, мы должны проанализировать график функции. Как мы увидели ранее, вершина параболы находится в точке \((0, 25)\).

Теперь давайте посмотрим, как меняется функция в зависимости от значения \(x\). Если мы подставим \(x = 0\), мы получим \(y = 25 - (0)^2 = 25\), что является положительным значением функции.

Однако, при \(x = -\infty\) (обозначим \(-\infty\) как \(-Б\)) или \(x = +\infty\) (обозначим \(+\infty\) как \(+Б\)), мы также получим положительные значения функции. Это происходит потому, что \(x\) находится справа или слева от вершины параболы.

Итак, значения функции \(y\) являются положительными при \(x \in (-\infty, +\infty)\).

в) Чтобы определить, при каких значениях аргумента \(x\) функция возрастает, мы должны проанализировать наклон графика функции.

Мы знаем, что у параболы \(y = 25 - x^2\) ветви направлены вниз, поскольку коэффициент \(a\) перед \(x^2\) отрицателен.

Из этого следует, что функция возрастает слева направо до точки вершины параболы, а после этой точки она убывает.

Однако, чтобы найти точные значения интервала, мы должны проанализировать градиент функции. Для этого нужно найти производную функции. Первая производная функции \(y = 25 - x^2\) равна \(y" = -2x\).

Функция возрастает на интервале, когда производная положительна. Таким образом, мы решаем неравенство \(y" > 0\):

\(-2x > 0\)

Чтобы найти значения \(x\), для которых производная положительна, мы делим обе части неравенства на \(-2\), но при этом меняем направление неравенства:

\(x < 0\)

Итак, функция \(y = 25 - x^2\) возрастает на интервале \((-\infty, 0)\].

г) Чтобы определить, при каких значениях аргумента \(x\) функция убывает, мы снова должны проанализировать направление наклона графика функции.

Мы уже знаем, что парабола \(y = 25 - x^2\) имеет ветви, которые направлены вниз. Значит, функция убывает до точка вершины параболы и возрастает после этой точки.

Аналогично предыдущей части, чтобы точно определить интервалы, мы должны проанализировать производную функции.

У нас есть \(y" = -2x\), и нам нужно решить неравенство \(y" < 0\):

\(-2x < 0\)

Деля обе части неравенства на \(-2\) и поменяв направление неравенства, получим:

\(x > 0\)

Таким образом, функция \(y = 25 - x^2\) убывает на интервале \([0, +\infty)\).

Когда мы сравниваем значения, полученные в анализе графика с результатами, полученными аналитически, мы видим, что наш график и результаты полностью совпадают.

Ответ:
а) Координаты вершины параболы: \(x = 0\), \(y = 25\).
б) Значения функции являются положительными при \(x \in (-\infty, +\infty)\).
в) Функция возрастает при \(x \in (-\infty, 0]\).
г) Функция убывает при \(x \in [0, +\infty)\).

Пожалуйста, обратите внимание, что графики и интервалы значений были анализированы без использования графического обозначения \("-Б\"\) и \""+Б\"", так что результаты полностью соответствуют графику.