Какие значения x и y удовлетворяют системе уравнений x/y+y/x=25/12 и x^2+y^2=25?

Дано система уравнений:

\[
\begin{align*}
\frac{x}{y} + \frac{y}{x} &= \frac{25}{12} \quad \text{(1)} \\
x^2 + y^2 &= 25 \quad \text{(2)}
\end{align*}
\]

Для начала решим уравнение (1). Для удобства введем обозначение \(u = \frac{x}{y}\). Тогда выражение \(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\) можно переписать в виде \(u + \frac{1}{u}\). Подставим это в (1):

\(u + \frac{1}{u} = \frac{25}{12}\)

Умножим обе части уравнения на \(u\):

\(u^2 + 1 = \frac{25}{12} u\)

Перенесем все члены в левую часть:

\(u^2 - \frac{25}{12} u + 1 = 0\)

Теперь мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью квадратного трехчлена:

\(u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -\frac{25}{12}\), \(c = 1\). Подставляем значения и находим \(u\):

\(u = \frac{-\left(-\frac{25}{12}\right) \pm \sqrt{\left(-\frac{25}{12}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}\)

Упростим выражение:

\(u = \frac{\frac{25}{12} \pm \sqrt{\frac{625}{144} - 4}}{2}\)

\(u = \frac{\frac{25}{12} \pm \sqrt{\frac{625}{144} - \frac{576}{144}}}{2}\)

\(u = \frac{\frac{25}{12} \pm \sqrt{\frac{49}{144}}}{2}\)

\(u = \frac{\frac{25}{12} \pm \frac{7}{12}}{2}\)

\(u = \frac{25 \pm 7}{12 \cdot 2}\)

\(u = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}\) или \(u = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}\)

Итак, мы получили два возможных значения для \(u\): \(u = \frac{2}{3}\) и \(u = \frac{3}{4}\).

Теперь перейдем к уравнению (2) и найдем соответствующие значения \(x\) и \(y\) для каждого случая.

1) Когда \(u = \frac{2}{3}\):

Используя уравнение (2), подставим \(u = \frac{x}{y} = \frac{2}{3}\):

\(x^2 + y^2 = 25\)

\(\left(\frac{2}{3}y\right)^2 + y^2 = 25\)

\(\frac{4}{9}y^2 + y^2 = 25\)

\(\frac{4}{9}y^2 + \frac{9}{9}y^2 = 25\)

\(\frac{13}{9}y^2 = 25\)

Умножим обе части на \(\frac{9}{13}\):

\(y^2 = \frac{225}{13}\)

Извлекаем квадратный корень:

\(y = \pm \sqrt{\frac{225}{13}}\)

Так как \(y\) не может быть отрицательным (в системе уравнений нет значения \(y\) в знаменателе), то \(y = \sqrt{\frac{225}{13}}\).

Теперь найдем \(x\):

\(x = u \cdot y = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{\frac{225}{13}}\)

\(x = \frac{2}{3} \cdot \frac{15}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}\)

\(x = \frac{2 \cdot 15}{3 \sqrt{13}}\)

\(x = \frac{8 \sqrt{13}}{3}\)

Таким образом, при \(u = \frac{2}{3}\) имеем \(x = \frac{8 \sqrt{13}}{3}\) и \(y = \sqrt{\frac{225}{13}}\).

2) Когда \(u = \frac{3}{4}\):

Повторяем те же шаги, подставляя \(u = \frac{x}{y} = \frac{3}{4}\) в уравнение (2):

\(x^2 + y^2 = 25\)

\(\left(\frac{3}{4}y\right)^2 + y^2 = 25\)

\(\frac{9}{16}y^2 + y^2 = 25\)

\(\frac{9}{16}y^2 + \frac{16}{16}y^2 = 25\)

\(\frac{25}{16}y^2 = 25\)

Умножим обе части на \(\frac{16}{25}\):

\(y^2 = 16\)

\(y = \pm 4\)

Так как \(y\) не может быть отрицательным (в системе уравнений нет значения \(y\) в знаменателе), то \(y = 4\).

Теперь найдем \(x\):

\(x = u \cdot y = \frac{3}{4} \cdot 4\)

\(x = 3\)

Таким образом, при \(u = \frac{3}{4}\) имеем \(x = 3\) и \(y = 4\).

Итак, решение системы уравнений заключается в двух наборах значений: \(x = \frac{8 \sqrt{13}}{3}\), \(y = \sqrt{\frac{225}{13}}\) при \(u = \frac{2}{3}\), и \(x = 3\), \(y = 4\) при \(u = \frac{3}{4}\).