Какие значения x и y приводят к экстремумам функции z=x^2+y^2-2*lnx-18*lny (при условии x> 0 и

Чтобы найти значения x и y, при которых функция z=x^2+y^2-2lnx-18lny достигает экстремумов, нам необходимо найти точки, в которых производные функции равны нулю или не существуют. Давайте начнем с поиска производных по x и y.

Производная по x (запишем как dz/dx) вычисляется путем дифференцирования каждого слагаемого функции z по отдельности:

\[\frac{{dz}}{{dx}} = \frac{{d(x^2+y^2-2lnx-18lny)}}{{dx}}\]

Заметим, что слагаемое 2lnx зависит от x, поэтому применим правило дифференцирования логарифма, которое гласит: \(\frac{{d(lnx)}}{{dx}} = \frac{1}{{x}}\)

Теперь продифференцируем каждое слагаемое:

\[\frac{{dz}}{{dx}} = \frac{{d(x^2)}}{{dx}} + \frac{{d(y^2)}}{{dx}} - \frac{{d(2lnx)}}{{dx}} - \frac{{d(18lny)}}{{dx}}\]

\[\frac{{dz}}{{dx}} = 2x + 0 - \frac{{2}}{{x}} - 0\]

Упростим выражение:

\[\frac{{dz}}{{dx}} = 2x - \frac{{2}}{{x}}\]

Аналогичным образом, найдем производную по y (запишем как dz/dy):

\[\frac{{dz}}{{dy}} = \frac{{d(x^2+y^2-2lnx-18lny)}}{{dy}}\]

Как видно, слагаемые, содержащие y, не зависят от y, поэтому их производная равна нулю, и мы оставляем только слагаемые, содержащие y:

\[\frac{{dz}}{{dy}} = 0 + 2y - 0 - \frac{{18}}{{y}}\]

Упростим выражение:

\[\frac{{dz}}{{dy}} = 2y - \frac{{18}}{{y}}\]

Теперь уравняем обе производные нулю и решим полученную систему уравнений:

\[\frac{{dz}}{{dx}} = 2x - \frac{{2}}{{x}} = 0\]
\[\frac{{dz}}{{dy}} = 2y - \frac{{18}}{{y}} = 0\]

Для первого уравнения:

\[2x - \frac{{2}}{{x}} = 0\]

Перемножим обе стороны уравнения на x:

\[2x^2 - 2 = 0\]

Разделим обе стороны уравнения на 2:

\[x^2 - 1 = 0\]

Разложим на множители:

\((x - 1)(x + 1) = 0\)

Таким образом, получаем два возможных значения для x: x = 1 и x = -1.

Проверим это, подставив эти значения в первое уравнение:

Для x = 1: \(2(1) - \frac{{2}}{{1}} = 0\)
Для x = -1: \(2(-1) - \frac{{2}}{{-1}} = 4 + 2 = 6 \neq 0\)

Значение x = -1 не является решением уравнения, поэтому исключим его из нашего ответа.

Теперь рассмотрим второе уравнение:

\[2y - \frac{{18}}{{y}} = 0\]

Домножим обе стороны уравнения на y:

\[2y^2 - 18 = 0\]

Разделим обе стороны уравнения на 2:

\[y^2 - 9 = 0\]

Разложим на множители:

\((y - 3)(y + 3) = 0\)

Таким образом, получаем два возможных значения для y: y = 3 и y = -3.

Проверим это, подставив эти значения во второе уравнение:

Для y = 3: \(2(3) - \frac{{18}}{{3}} = 6 - 6 = 0\)
Для y = -3: \(2(-3) - \frac{{18}}{{-3}} = -6 + 6 = 0\)

Таким образом, мы получили, что значения x = 1 и y = 3 являются решениями системы уравнений, которые приводят к экстремумам функции z=x^2+y^2-2lnx-18lny при условии x > 0 и y > 0.

Мы можем проверить, являются ли эти значения точками минимума или максимума, используя вторые производные. Если второй производной будет положительная, то это будет точка минимума, и наоборот, если вторая производная будет отрицательная, то это будет точка максимума.

Чтобы найти вторые производные, продифференцируем первые производные по x и y соответственно.

Возьмем первую производную по x:

\[\frac{{d(2x - \frac{{2}}{{x}})}}{{dx}} = 2 + \frac{{2}}{{x^2}}\]

Возьмем первую производную по y:

\[\frac{{d(2y - \frac{{18}}{{y}})}}{{dy}} = 2 - \frac{{18}}{{y^2}}\]

Теперь возьмем вторую производную по x:

\[\frac{{d(2 + \frac{{2}}{{x^2}})}}{{dx}} = -\frac{{4}}{{x^3}}\]

Теперь возьмем вторую производную по y:

\[\frac{{d(2 - \frac{{18}}{{y^2}})}}{{dy}} = \frac{{36}}{{y^3}}\]

Подставим значения x = 1 и y = 3 во вторые производные:

Для x = 1: \(-\frac{{4}}{{(1)^3}} = -4 < 0\)
Для y = 3: \(\frac{{36}}{{(3)^3}} = \frac{{36}}{{27}} > 0\)

Таким образом, мы получили, что для x = 1 и y = 3 вторые производные имеют разные знаки. Это означает, что точка (1, 3) является точкой максимума функции z=x^2+y^2-2lnx-18lny при условии x > 0 и y > 0.

Надеюсь, данное пошаговое решение привело к пониманию того, как найти значения x и y, при которых функция достигает экстремумов. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.