а) Где находится вершина параболы функции f(x) = х² - 6х - 7? б) Каким образом можно построить график данной функции?

а) Где находится вершина параболы функции f(x) = х² - 6х - 7?
б) Каким образом можно построить график данной функции?
с) Какие значения x входят в область определения, и какие значения y входят в множество значений функции?
д) Где находится ось симметрии параболы?
е) Какие промежутки возрастания и убывания имеет функция?
ИИ помощник ИИ помощник в учёбе
Muravey

Muravey

Хорошо, давайте разберем задачу поэтапно:

а) Чтобы найти вершину параболы, нам нужно знать, что вершина имеет координаты (h, k), где h - это абсцисса вершины, а k - это ордината вершины.

Исходная функция f(x)=x26x7 представляет собой параболу вида y=ax2+bx+c, где a, b и c - это коэффициенты.

Чтобы найти координаты вершины параболы, мы можем использовать формулу h=b2a и k=f(h).

В нашем случае, коэффициенты равны:
a = 1, b = -6, c = -7.

Применяя формулу, получаем:
h=621=62=3.

Теперь найдем k, записав функцию в виде f(x)=(xh)2+k:
f(x)=(x3)2+k.

Подставим х = 3 в функцию:
f(3)=(33)2+k,
0+k=7.
Отсюда k = -7.

Итак, вершина параболы функции f(x)=x26x7 имеет координаты (3, -7).

б) Чтобы построить график функции, мы можем использовать вершину параболы и еще несколько точек.

1. Начнем с вершины (3, -7).
2. Рассмотрим точку слева от вершины. Подставим значение меньше 3 в функцию, например, x = 1:
f(1)=12617=12, так что первая точка будет (1, -12).
3. Рассмотрим точку справа от вершины. Подставим значение больше 3, например, x = 5:
f(5)=52657=3, следовательно, вторая точка будет (5, 3).
4. Мы также можем добавить точку, соответствующую оси симметрии. Она будет иметь ту же ординату, что и вершина. Таким образом, третья точка будет (h, -7), то есть (3, -7).

Подведем итог: для построения графика параболы функции f(x)=x26x7, мы используем точки (1, -12), (3, -7) и (5, 3). Соединив эти точки гладкой кривой, мы получим график функции.

с) Чтобы определить область определения и множество значений функции, обратимся к самой функции f(x)=x26x7.

Область определения - это множество всех возможных значений переменной x, для которых функция определена. В данном случае, так как уравнение является квадратным и не содержит никаких ограничений для переменной x, то область определения функции f(x) не ограничена и включает все действительные числа.

Множество значений - это множество всех возможных значений, которые принимает функция. В данном случае, поскольку парабола открывается вверх (коэффициент a положительный), наименьшее значение функции будет на вершине параболы и равно -7. То есть, множество значений функции f(x) включает все действительные числа больше или равные -7.

Итак, область определения функции f(x) - все действительные числа, а множество значений функции - все действительные числа, большие или равные -7.

д) Ось симметрии параболы проходит через ее вершину. В нашем случае, вершина параболы функции f(x)=x26x7 имеет координаты (3, -7), поэтому ось симметрии будет проходить через эту точку.

е) Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, мы можем рассмотреть ее первую производную. Первая производная функции f"(x) показывает наклон параболы в каждой точке.

Возьмем первую производную функции f(x)=x26x7. Для этого возьмем производную от каждого слагаемого:
f"(x)=(2x6).

Вычислим значение f"(x) в произвольной точке, например, при x = 0:
f"(0)=(206)=6.

Так как f"(x) отрицательна при x = 0, это означает, что функция убывает в окрестности точки x = 0.

Теперь найдем другую точку, для которой f"(x)=0. Решим уравнение 2x6=0:
2x=6,
x=3.

Таким образом, при x = 3 первая производная равна нулю, и это является точкой перегиба параболы.

Исходя из этого, мы можем сделать следующие выводы о промежутках возрастания и убывания функции:

- Функция возрастает на интервале <x<3.
- Функция убывает на интервале 3<x<+.

Вот и всё! Мы подробно рассмотрели задачу, включая поиск вершины параболы, построение графика, определение области определения и множества значений функции, расположение оси симметрии и промежутки возрастания и убывания функции. Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello