а) Где находится вершина параболы функции f(x) = х² - 6х - 7? б) Каким образом можно построить график данной функции?

Хорошо, давайте разберем задачу поэтапно:

а) Чтобы найти вершину параболы, нам нужно знать, что вершина имеет координаты (h, k), где h - это абсцисса вершины, а k - это ордината вершины.

Исходная функция \(f(x) = x^2 - 6x - 7\) представляет собой параболу вида \(y = ax^2 + bx + c\), где a, b и c - это коэффициенты.

Чтобы найти координаты вершины параболы, мы можем использовать формулу \(h = -\frac{b}{2a}\) и \(k = f(h)\).

В нашем случае, коэффициенты равны:
a = 1, b = -6, c = -7.

Применяя формулу, получаем:
\(h = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = -\frac{-6}{2} = 3\).

Теперь найдем k, записав функцию в виде \(f(x) = (x - h)^2 + k\):
\(f(x) = (x - 3)^2 + k\).

Подставим х = 3 в функцию:
\(f(3) = (3 - 3)^2 + k\),
\(0 + k = -7\).
Отсюда k = -7.

Итак, вершина параболы функции \(f(x) = x^2 - 6x - 7\) имеет координаты (3, -7).

б) Чтобы построить график функции, мы можем использовать вершину параболы и еще несколько точек.

1. Начнем с вершины (3, -7).
2. Рассмотрим точку слева от вершины. Подставим значение меньше 3 в функцию, например, x = 1:
\(f(1) = 1^2 - 6 \cdot 1 - 7 = -12\), так что первая точка будет (1, -12).
3. Рассмотрим точку справа от вершины. Подставим значение больше 3, например, x = 5:
\(f(5) = 5^2 - 6 \cdot 5 - 7 = 3\), следовательно, вторая точка будет (5, 3).
4. Мы также можем добавить точку, соответствующую оси симметрии. Она будет иметь ту же ординату, что и вершина. Таким образом, третья точка будет (h, -7), то есть (3, -7).

Подведем итог: для построения графика параболы функции \(f(x) = x^2 - 6x - 7\), мы используем точки (1, -12), (3, -7) и (5, 3). Соединив эти точки гладкой кривой, мы получим график функции.

с) Чтобы определить область определения и множество значений функции, обратимся к самой функции \(f(x) = x^2 - 6x - 7\).

Область определения - это множество всех возможных значений переменной x, для которых функция определена. В данном случае, так как уравнение является квадратным и не содержит никаких ограничений для переменной x, то область определения функции \(f(x)\) не ограничена и включает все действительные числа.

Множество значений - это множество всех возможных значений, которые принимает функция. В данном случае, поскольку парабола открывается вверх (коэффициент a положительный), наименьшее значение функции будет на вершине параболы и равно -7. То есть, множество значений функции \(f(x)\) включает все действительные числа больше или равные -7.

Итак, область определения функции \(f(x)\) - все действительные числа, а множество значений функции - все действительные числа, большие или равные -7.

д) Ось симметрии параболы проходит через ее вершину. В нашем случае, вершина параболы функции \(f(x) = x^2 - 6x - 7\) имеет координаты (3, -7), поэтому ось симметрии будет проходить через эту точку.

е) Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, мы можем рассмотреть ее первую производную. Первая производная функции \(f"(x)\) показывает наклон параболы в каждой точке.

Возьмем первую производную функции \(f(x) = x^2 - 6x - 7\). Для этого возьмем производную от каждого слагаемого:
\(f"(x) = (2x - 6)\).

Вычислим значение \(f"(x)\) в произвольной точке, например, при x = 0:
\(f"(0) = (2 \cdot 0 - 6) = -6\).

Так как \(f"(x)\) отрицательна при x = 0, это означает, что функция убывает в окрестности точки x = 0.

Теперь найдем другую точку, для которой \(f"(x) = 0\). Решим уравнение \(2x - 6 = 0\):
\(2x = 6\),
\(x = 3\).

Таким образом, при x = 3 первая производная равна нулю, и это является точкой перегиба параболы.

Исходя из этого, мы можем сделать следующие выводы о промежутках возрастания и убывания функции:

- Функция возрастает на интервале \(-\infty < x < 3\).
- Функция убывает на интервале \(3 < x < +\infty\).

Вот и всё! Мы подробно рассмотрели задачу, включая поиск вершины параболы, построение графика, определение области определения и множества значений функции, расположение оси симметрии и промежутки возрастания и убывания функции. Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!