а) Где находится вершина параболы функции f(x) = х² - 6х - 7?
б) Каким образом можно построить график данной функции?
с) Какие значения x входят в область определения, и какие значения y входят в множество значений функции?
д) Где находится ось симметрии параболы?
е) Какие промежутки возрастания и убывания имеет функция?
б) Каким образом можно построить график данной функции?
с) Какие значения x входят в область определения, и какие значения y входят в множество значений функции?
д) Где находится ось симметрии параболы?
е) Какие промежутки возрастания и убывания имеет функция?

Muravey
Хорошо, давайте разберем задачу поэтапно:
а) Чтобы найти вершину параболы, нам нужно знать, что вершина имеет координаты (h, k), где h - это абсцисса вершины, а k - это ордината вершины.
Исходная функция представляет собой параболу вида , где a, b и c - это коэффициенты.
Чтобы найти координаты вершины параболы, мы можем использовать формулу и .
В нашем случае, коэффициенты равны:
a = 1, b = -6, c = -7.
Применяя формулу, получаем:
.
Теперь найдем k, записав функцию в виде :
.
Подставим х = 3 в функцию:
,
.
Отсюда k = -7.
Итак, вершина параболы функции имеет координаты (3, -7).
б) Чтобы построить график функции, мы можем использовать вершину параболы и еще несколько точек.
1. Начнем с вершины (3, -7).
2. Рассмотрим точку слева от вершины. Подставим значение меньше 3 в функцию, например, x = 1:
, так что первая точка будет (1, -12).
3. Рассмотрим точку справа от вершины. Подставим значение больше 3, например, x = 5:
, следовательно, вторая точка будет (5, 3).
4. Мы также можем добавить точку, соответствующую оси симметрии. Она будет иметь ту же ординату, что и вершина. Таким образом, третья точка будет (h, -7), то есть (3, -7).
Подведем итог: для построения графика параболы функции , мы используем точки (1, -12), (3, -7) и (5, 3). Соединив эти точки гладкой кривой, мы получим график функции.
с) Чтобы определить область определения и множество значений функции, обратимся к самой функции .
Область определения - это множество всех возможных значений переменной x, для которых функция определена. В данном случае, так как уравнение является квадратным и не содержит никаких ограничений для переменной x, то область определения функции не ограничена и включает все действительные числа.
Множество значений - это множество всех возможных значений, которые принимает функция. В данном случае, поскольку парабола открывается вверх (коэффициент a положительный), наименьшее значение функции будет на вершине параболы и равно -7. То есть, множество значений функции включает все действительные числа больше или равные -7.
Итак, область определения функции - все действительные числа, а множество значений функции - все действительные числа, большие или равные -7.
д) Ось симметрии параболы проходит через ее вершину. В нашем случае, вершина параболы функции имеет координаты (3, -7), поэтому ось симметрии будет проходить через эту точку.
е) Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, мы можем рассмотреть ее первую производную. Первая производная функции показывает наклон параболы в каждой точке.
Возьмем первую производную функции . Для этого возьмем производную от каждого слагаемого:
.
Вычислим значение в произвольной точке, например, при x = 0:
.
Так как отрицательна при x = 0, это означает, что функция убывает в окрестности точки x = 0.
Теперь найдем другую точку, для которой . Решим уравнение :
,
.
Таким образом, при x = 3 первая производная равна нулю, и это является точкой перегиба параболы.
Исходя из этого, мы можем сделать следующие выводы о промежутках возрастания и убывания функции:
- Функция возрастает на интервале .
- Функция убывает на интервале .
Вот и всё! Мы подробно рассмотрели задачу, включая поиск вершины параболы, построение графика, определение области определения и множества значений функции, расположение оси симметрии и промежутки возрастания и убывания функции. Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!
а) Чтобы найти вершину параболы, нам нужно знать, что вершина имеет координаты (h, k), где h - это абсцисса вершины, а k - это ордината вершины.
Исходная функция
Чтобы найти координаты вершины параболы, мы можем использовать формулу
В нашем случае, коэффициенты равны:
a = 1, b = -6, c = -7.
Применяя формулу, получаем:
Теперь найдем k, записав функцию в виде
Подставим х = 3 в функцию:
Отсюда k = -7.
Итак, вершина параболы функции
б) Чтобы построить график функции, мы можем использовать вершину параболы и еще несколько точек.
1. Начнем с вершины (3, -7).
2. Рассмотрим точку слева от вершины. Подставим значение меньше 3 в функцию, например, x = 1:
3. Рассмотрим точку справа от вершины. Подставим значение больше 3, например, x = 5:
4. Мы также можем добавить точку, соответствующую оси симметрии. Она будет иметь ту же ординату, что и вершина. Таким образом, третья точка будет (h, -7), то есть (3, -7).
Подведем итог: для построения графика параболы функции
с) Чтобы определить область определения и множество значений функции, обратимся к самой функции
Область определения - это множество всех возможных значений переменной x, для которых функция определена. В данном случае, так как уравнение является квадратным и не содержит никаких ограничений для переменной x, то область определения функции
Множество значений - это множество всех возможных значений, которые принимает функция. В данном случае, поскольку парабола открывается вверх (коэффициент a положительный), наименьшее значение функции будет на вершине параболы и равно -7. То есть, множество значений функции
Итак, область определения функции
д) Ось симметрии параболы проходит через ее вершину. В нашем случае, вершина параболы функции
е) Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, мы можем рассмотреть ее первую производную. Первая производная функции
Возьмем первую производную функции
Вычислим значение
Так как
Теперь найдем другую точку, для которой
Таким образом, при x = 3 первая производная равна нулю, и это является точкой перегиба параболы.
Исходя из этого, мы можем сделать следующие выводы о промежутках возрастания и убывания функции:
- Функция возрастает на интервале
- Функция убывает на интервале
Вот и всё! Мы подробно рассмотрели задачу, включая поиск вершины параболы, построение графика, определение области определения и множества значений функции, расположение оси симметрии и промежутки возрастания и убывания функции. Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!
Знаешь ответ?