Какие значения t соответствуют одинаковым значениям для многочленов 2t(3+t) и 3t²-16? Укажите самое маленькое значение

Для решения этой задачи нам необходимо найти значения переменной t, при которых два заданных многочлена равны друг другу. В данном случае, многочлены, которые мы рассматриваем, это \(2t(3+t)\) и \(3t^2-16\). Давайте найдем значения t, при которых эти два многочлена равны.

Первым шагом, упростим каждый из многочленов, чтобы найти их эквивалентные формы:

\[2t(3+t) = 6t + 2t^2\]
\[3t^2 - 16\]

Теперь у нас есть два многочлена в эквивалентной форме. Чтобы найти значения t, при которых они равны друг другу, приравняем их:

\[6t + 2t^2 = 3t^2 - 16\]

Для удобства приведем это уравнение в стандартную форму:

\[2t^2 - 6t - 16 = 0\]

Теперь, чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем использовать квадратное уравнение \(t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где у нас есть квадратное уравнение вида \(at^2 + bt + c = 0\).

Сравнивая с нашим уравнением, мы видим, что \(a = 2\), \(b = -6\) и \(c = -16\). Подставив эти значения в формулу, получим:

\[t = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(2)(-16)}}{2(2)}\]

Упростим это:

\[t = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 128}}{4}\]
\[t = \frac{6 \pm \sqrt{164}}{4}\]

Теперь, чтобы найти значения t, при которых многочлены равны, нам нужно найти значения, которые удовлетворяют этому квадратному уравнению. Давайте продолжим.

Вычислим значение под корнем:

\[\sqrt{164} \approx 12.81\]

Теперь, разделим на 4, чтобы найти значения t:

\[t_1 = \frac{6 + 12.81}{4} \approx 4.95\]
\[t_2 = \frac{6 - 12.81}{4} \approx -1.95\]

Итак, мы нашли два значения t, при которых многочлены \(2t(3+t)\) и \(3t^2 - 16\) равны друг другу. Самое маленькое значение из них - это -1.95.

Ответ: Самое маленькое значение t, которое соответствует одинаковым значениям для многочленов \(2t(3+t)\) и \(3t^2 - 16\), равно -1.95.