1. Rewrite as a polynomial: a) (c - 7)²; b) (6x - 5)(6x + 5); c) (2m+n)²; d) (3d + 2y)(3d - 2y). 2. Factorize: a

Хорошо, давайте решим все задачи по порядку.

1. Перепишите как полином:
a) \((c - 7)²\)
Можно раскрыть скобки, используя формулу квадрата суммы: \((a - b)² = a² - 2ab + b²\)
Таким образом, \((c - 7)² = c² - 2c \cdot 7 + 7² = c² - 14c + 49\)

b) \((6x - 5)(6x + 5)\)
Здесь мы можем использовать формулу разности квадратов и получить:
\((6x - 5)(6x + 5) = (6x)² - 5² = 36x² - 25\)

c) \((2m+n)²\)
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:
\((a + b)² = a² + 2ab + b²\)
Получим: \((2m + n)² = (2m)² + 2(2m)(n) + n² = 4m² + 4mn + n²\)

d) \((3d + 2y)(3d - 2y)\)
Здесь мы можем использовать формулу разности квадратов и получить:
\((3d + 2y)(3d - 2y) = (3d)² - (2y)² = 9d² - 4y²\)

2. Разложите на множители:
a) \(c² - 25\)
Это разность квадратов, поэтому мы можем получить: \(c² - 25 = (c + 5)(c - 5)\)

b) \(64c²d⁴ - 46\)
Здесь нам необходимо упростить выражение, так как мы не можем разложить его на множители.
\(64c²d⁴ - 46\) - это окончательный ответ.

c) \(m² + 8a + 16\)
Это квадратный трехчлен, который мы не можем разложить на множители.
\(m² + 8a + 16\) - это окончательный ответ.

d) \((x + 2)² = (x - 2)\)
Здесь мы можем использовать формулу сокращенного умножения для разности квадратов:
\((a + b)(a - b) = a² - b²\)
Поэтому, \((x + 2)² - (x - 2)² = x² + 4x + 4 - (x² - 4x + 4) = 8x\)

3. Выражение: \((x - 5)² - 4x(x + 3)\)
Применим формулу квадрата суммы для разности квадратов и раскроем скобки:
\((x - 5)² - 4x(x + 3) = x² - 10x + 25 - 4x² - 12x = -3x² - 22x + 25\)

4. Решите уравнение:
a) \((x - 2)(x + 2) - x(x + 5) = -8\)
Раскроем скобки:
\(x² - 4 - x² - 5x = -8\)
Упростим выражение:
\(-5x - 4 = -8\)
Теперь решим полученное уравнение:
\(-5x = -4 - 8\)
\(-5x = -12\)
\(x = \frac{-12}{-5}\)
\(x = \frac{12}{5}\)

b) \(252 - 16 = 0\)
Уравнение вырождается в простое выражение:
\(236 = 0\)
Так как ноль никогда не будет равен другому числу, то это уравнение не имеет решений.

5. Выполните операции:
a) \((4y² - 9)(2y - 3)(2y + 3)\)
Здесь мы не можем упростить выражение, поэтому результатом будет:
\((4y² - 9)(2y - 3)(2y + 3)\)

b) \((7m² - 3n³)(7m² - 3n³)\)
Это квадратный трехчлен, который можно записать в виде квадрата:
\((7m² - 3n³)(7m² - 3n³) = (7m² - 3n³)² = 49m⁴ - 42m²n³ + 9n⁶\)

6. Докажите неравенство:
\(x² - 16y² > 8xy\)
Приведем все элементы в одну часть:
\(x² - 16y² - 8xy > 0\)
Мы можем упростить это выражение и получить:
\(x² - 8xy - 16y² > 0\)

Найдем корни квадратного уравнения \(x² - 8xy - 16y² = 0\):
\(D = (8y)² - 4 \cdot 1 \cdot (-16y²) = 64y² + 64y² = 128y²\)
Корни уравнения: \(y = \pm \frac{\sqrt{128y²}}{16} = \pm \frac{8y\sqrt{2}}{16} = \pm \frac{4y\sqrt{2}}{8} = \pm \frac{2y\sqrt{2}}{4} = \pm \frac{y\sqrt{2}}{2}\)

Подставим полученные значения в неравенство:
Если \(y > 0\), то \(- \frac{y\sqrt{2}}{2} < 0\) и получим:
\((x - \frac{y\sqrt{2}}{2})(x + \frac{y\sqrt{2}}{2}) > 0\)
Когда значения \(x\) больше \(\frac{y\sqrt{2}}{2}\), неравенство будет истинным.

Таким образом, выполняется неравенство \(x² - 16y² > 8xy\) при условии, что \(y > 0\) и \(x > \frac{y\sqrt{2}}{2}\).