Какие значения переменной X обеспечат последовательность 3x²+1, x²+5, x²-7, состоящую из последовательных членов

Хорошо, для решения этой задачи нам нужно найти такие значения переменной \(x\), при которых последовательность \(3x^2+1, x^2+5, x^2-7\) состоит из последовательных членов геометрической прогрессии.

Для того, чтобы последовательность была геометрической прогрессией, необходимо, чтобы отношение любых двух последовательных членов было постоянным.

Поэтому, мы можем записать следующее равенство:

\(\frac{{x^2+5}}{{3x^2+1}} = \frac{{x^2-7}}{{x^2+5}}\)

Для того чтобы найти значения \(x\), давайте разрешим это уравнение.

Приведём уравнение к общему знаменателю:

\((x^2+5)(x^2+5) = (3x^2+1)(x^2-7)\)

\(x^4 + 10x^2 + 25 = 3x^4 - 21x^2 + x^2 - 7\)

Теперь объединим подобные члены:

\(0 = 3x^4 - x^4 - 21x^2 - 10x^2 - x^2 - 7 - 25\)

\(0 = 2x^4 - 32x^2 - 32\)

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Давайте попробуем решить его с помощью факторизации.

Мы можем заметить, что \(2x^4 - 32x^2 - 32\) можно представить в виде разности квадратов:

\(0 = (x^2 - 8)(2x^2 + 4)\)

Теперь мы можем найти значения \(x\), при которых это уравнение равно нулю, разложив его на два уравнения:

\(x^2 - 8 = 0\) или \(2x^2 + 4 = 0\)

Для первого уравнения получаем:

\(x^2 = 8\)

\(x = \pm \sqrt{8}\)

Для второго уравнения получаем:

\(2x^2 = -4\)

\(x^2 = -2\)

Это уравнение не имеет решений в вещественных числах.

Таким образом, значения переменной \(x\), которые обеспечат последовательность \(3x^2+1, x^2+5, x^2-7\) состоящую из последовательных членов геометрической прогрессии, равны: \(x = -\sqrt{8}\) и \(x = \sqrt{8}\).