Какие значения m приводят к перпендикулярности векторов a(m + 1; 1;-1;) и b(m; -m;-2m+3)?

Для того, чтобы определить, при каких значениях \(m\) векторы \(a\) и \(b\) будут перпендикулярными, нам нужно проверить условие ортогональности векторов. Ортогональность означает, что скалярное произведение двух векторов равно 0.

Давайте проверим это условие для данных векторов \(a\) и \(b\):

\[
a = (m + 1, 1, -1)
\]
\[
b = (m, -m, -2m + 3)
\]

Скалярное произведение двух векторов \(a\) и \(b\) определяется следующей формулой:

\[
a \cdot b = (m + 1) \cdot m + 1 \cdot (-m) + (-1) \cdot (-2m + 3)
\]

Выполним умножение и сократим подобные слагаемые:

\[
a \cdot b = m^2 + m - m + 2m - 3 = m^2 + 2m - 3
\]

Теперь, чтобы узнать, при каких значениях \(m\) скалярное произведение будет равно 0, мы должны решить уравнение:

\[
m^2 + 2m - 3 = 0
\]

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

\[
D = b^2 - 4ac
\]
\[
D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16
\]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня уравнения \(m\):

\[
m_1 = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-2 + \sqrt{16}}}{{2}} = \frac{{-2 + 4}}{{2}} = 1
\]
\[
m_2 = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-2 - \sqrt{16}}}{{2}} = \frac{{-2 - 4}}{{2}} = -3
\]

Таким образом, при значениях \(m = 1\) и \(m = -3\) векторы \(a(m + 1, 1, -1)\) и \(b(m, -m, -2m + 3)\) будут перпендикулярными.