Какова площадь полной поверхности пирамиды SPQRT, если на ее основании лежит прямоугольник PQRT, высота пирамиды

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться формулой для площади полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле:
\[S = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}\]

где:
\(S_{\text{осн}}\) - площадь основания пирамиды,
\(S_{\text{бок}}\) - сумма площадей боковых граней пирамиды.

Для начала найдём площадь основания пирамиды.

Основание пирамиды - прямоугольник PQRT.
Формула для нахождения площади прямоугольника:
\[S_{\text{пр}} = a \cdot b\]

где:
\(a\) - длина стороны прямоугольника,
\(b\) - длина второй стороны прямоугольника.

В нашем случае, длина стороны прямоугольника PQRT равна 12, а длина второй стороны равна 8.

\[S_{\text{пр}} = 12 \cdot 8\]
\[S_{\text{пр}} = 96\]

Теперь рассмотрим боковую грань пирамиды.

Мы знаем, что боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов. Значит, она представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник.

Так как ребра треугольника равны 12 и 8, то его площадь можно найти по формуле:
\[S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \cdot p \cdot h\]

где:
\(p\) - периметр треугольника,
\(h\) - высота треугольника.

Чтобы найти периметр треугольника, сложим длины всех его сторон (длины рёбер):
\[p = 12 + 12 + 8 = 32\]

Теперь найдём площадь боковой грани пирамиды:
\[S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot \frac{8}{\sqrt{2}}\]

Так как треугольник равнобедренный, то высота будет равна половине длины основания, то есть \(\frac{8}{\sqrt{2}}\).

\[S_{\text{тр}} = 16 \cdot \frac{8}{\sqrt{2}}\]
\[S_{\text{тр}} = \frac{128}{\sqrt{2}}\]

Теперь, чтобы получить площадь полной поверхности пирамиды, сложим площадь основания и площадь боковой грани:
\[S = 96 + \frac{128}{\sqrt{2}}\]

Чтобы сделать ответ точнее, упростим его, умножив второе слагаемое на \(\sqrt{2}\):
\[S = 96 + 128 \cdot \sqrt{2}\]

Итак, площадь полной поверхности пирамиды SPQRT равна \(96 + 128 \cdot \sqrt{2}\).