Какие значения m и n делают векторы a{m;-2;3} и b{-8;4;n} коллинеарными?

Чтобы определить значения \(m\) и \(n\), при которых векторы \(\mathbf{a}=\begin{bmatrix}m\\-2\\3\end{bmatrix}\) и \(\mathbf{b}=\begin{bmatrix}-8\\4\\n\end{bmatrix}\) будут коллинеарными, необходимо использовать определение коллинеарности векторов.

Два вектора \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) называются коллинеарными, если один из них может быть получен путем умножения другого на некоторую константу. Математически, это можно записать следующим образом:

\(\mathbf{a} = k \cdot \mathbf{b}\) или \(\mathbf{b} = k \cdot \mathbf{a}\), где \(k\) - некоторая константа.

Давайте рассмотрим каждую компоненту векторов отдельно.

Для компоненты \(x\) у нас имеем:
\(m = -8 \cdot k\).

Для компоненты \(y\) у нас имеем:
\(-2 = 4 \cdot k\).

Для компоненты \(z\) у нас имеем:
\(3 = n \cdot k\).

Теперь решим каждое уравнение относительно \(k\):

1) Из первого уравнения получаем:
\(k = \frac{m}{-8}\).

2) Из второго уравнения получаем:
\(k = \frac{-2}{4}\).

3) Из третьего уравнения получаем:
\(k = \frac{3}{n}\).

Теперь у нас есть три уравнения, связывающих переменные \(k\), \(m\) и \(n\). Чтобы найти значения \(m\) и \(n\), при которых векторы становятся коллинеарными, эти три уравнения должны быть выполнены одновременно.

Подставим значения \(k\) из первого уравнения во второе и третье уравнения:
\(\frac{m}{-8} = \frac{-2}{4} \Rightarrow m = 4\).

\(\frac{m}{-8} = \frac{3}{n} \Rightarrow n = \frac{3}{4}\).

Таким образом, значения \(m = 4\) и \(n = \frac{3}{4}\) делают векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) коллинеарными.