Какие значения х удовлетворяют неравенству (f′(x))²> 1, при заданной функции: f(x)=arcsin6x? Напишите ответ в виде

Чтобы найти значения \(x\), которые удовлетворяют неравенству \((f"(x))^2 > 1\) для заданной функции \(f(x) = \arcsin(6x)\), давайте сначала найдем производную \(f"(x)\) функции \(f(x)\).

По определению, производная функции \(f(x)\) равна пределу частного приращения функции на приращение аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Вычислим производную \(f"(x)\) функции \(f(x) = \arcsin(6x)\) с помощью правила дифференцирования сложной функции (chain rule).

Применяя правило дифференцирования сложной функции, мы получим:

\[f"(x) = \frac{d}{dx}\left(\arcsin(6x)\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - (6x)^2}} \cdot 6\]

Теперь, чтобы решить неравенство \((f"(x))^2 > 1\), заменим \(f"(x)\) в неравенстве выражением \(\frac{1}{\sqrt{1 - (6x)^2}} \cdot 6\) и решим его.

\[\left(\frac{1}{\sqrt{1 - (6x)^2}} \cdot 6\right)^2 > 1\]

\[\frac{36}{1 - (6x)^2} > 1\]

Умножим обе части неравенства на \(1 - (6x)^2\) и перепишем неравенство в виде квадратного неравенства:

\[36 > 1 - (6x)^2\]

\[0 > 1 - (6x)^2 - 36\]

\[(6x)^2 > 37\]

\[36x^2 > 37\]

Теперь разделим обе части неравенства на 36:

\[x^2 > \frac{37}{36}\]

Отсюда следует, что значение \(x\) должно удовлетворять условию \(x^2 > \frac{37}{36}\).

Мы можем записать ответ в виде диапазона значений \(x\). Чтобы найти этот диапазон, возьмем квадратный корень от обеих частей неравенства:

\[|x| > \frac{\sqrt{37}}{6}\]

Так как абсолютное значение \(|x|\) может быть либо больше, либо меньше \(\frac{\sqrt{37}}{6}\), мы можем записать ответ в виде двух диапазонов значений \(x\):

\(-\infty < x < -\frac{\sqrt{37}}{6}\) и \(\frac{\sqrt{37}}{6} < x < \infty\).

Таким образом, значения \(x\), удовлетворяющие неравенству \((f"(x))^2 > 1\) для функции \(f(x) = \arcsin(6x)\), находятся в интервале \(-\infty < x < -\frac{\sqrt{37}}{6}\) или \(\frac{\sqrt{37}}{6} < x < \infty\).