Какие значения должны быть у m и n, чтобы векторы 2a - 3b и c(m, 8, n) были коллинеарны?

Чтобы векторы \(2a - 3b\) и \(c(m, 8, n)\) были коллинеарными, необходимо условие коллинеарности, которое гласит: векторы равны или параллельны.
Для заданных векторов это означает, что мы должны установить равенство или пропорциональность между их координатами.

Итак, рассмотрим данное условие более подробно:

Пусть \(2a - 3b = c(m, 8, n)\)

Из этого мы можем вывести следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
2a = cm \\
-3b = 8c \\
-3b = cn
\end{cases}
\]

Для упрощения решения, домножим второе уравнение на \(\frac{1}{8}\), a третье - на \(\frac{1}{c}\):

\[
\begin{cases}
2a = cm \\
-\frac{3}{8}b = c \\
-\frac{3}{c}b = n
\end{cases}
\]

Теперь обратим внимание на первое уравнение. Если \(2a = cm\), то мы можем поделить его на \(m\) (при условии, что \(m \neq 0\)):

\[
\frac{2a}{m} = c
\]

Теперь рассмотрим третье уравнение. Если \(-\frac{3}{c}b = n\), то мы также можем поделить его на \(-\frac{3}{8}b\) (при условии, что \(b \neq 0\)):

\[
\frac{-\frac{3}{c}b}{-\frac{3}{8}b} = n
\]

Сократим \(b\):

\[
\frac{8}{c} = n
\]

Таким образом, мы получаем, что \(n = \frac{8}{c}\).

Продолжая анализировать систему уравнений, мы видим, что условие коллинеарности векторов \(2a - 3b\) и \(c(m, 8, n)\) выполняется, если \(c = \frac{2a}{m}\) и \(n = \frac{8}{c}\).

Окончательно, для того чтобы векторы \(2a - 3b\) и \(c(m, 8, n)\) были коллинеарными, значение \(c\) должно быть равным \(\frac{2a}{m}\), а значение \(n\) должно быть равным \(\frac{8}{c}\).