Какие значения для целых чисел m и n удовлетворяют уравнению m^2 + 7n^2

Question

Алгебра: Какие значения для целых чисел m и n удовлетворяют уравнению m^2 + 7n^2 = 8mn - 56? Ответ: m = -33 и n = -5, -17

Александрович_5066 · Accepted Answer

Хорошо, чтобы найти значения целых чисел m и n, удовлетворяющие данному уравнению

m^{2} + 7 n^{2} = 8 m n - 56

, сначала приведем его к квадратному виду. Для этого перенесем все члены в одну сторону уравнения и получим:

m^{2} - 8 m n + 7 n^{2} + 56 = 0

Теперь разберемся как решить это квадратное уравнение относительно переменной m. Мы знаем, что решения квадратного уравнения

a x^{2} + b x + c = 0

могут быть найдены по формуле дискриминанта:

D = b^{2} - 4 a c

Если дискриминант D больше нуля, у нас будут два различных вещественных корня. Если D равен нулю, у уравнения будет один вещественный корень. И наконец, если D меньше нуля, корни будут комплексными числами.

В нашем случае, мы имеем квадратное уравнение

m^{2} - 8 m n + 7 n^{2} + 56 = 0

с коэффициентами

a = 1

,

b = - 8 n

и

c = 7 n^{2} + 56

.

Давайте найдем дискриминант D:

D = (- 8 n)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (7 n^{2} + 56) = 64 n^{2} - 28 n^{2} - 224

Упрощая это выражение, получим:

D = 36 n^{2} - 224

Теперь нам нужно найти значения n, при которых D равен нулю, чтобы получить равенство

m = - 33

и

n = - 5

или

m = - 33

и

n = - 17

. Давайте проверим это, подставив значения в исходное уравнение.

Подставим

m = - 33

и

n = - 5

в

m^{2} + 7 n^{2} = 8 m n - 56

:

(- 33)^{2} + 7 (- 5)^{2} = 8 (- 33) (- 5) - 56

1089 + 175 = 1320 - 56

1264 = 1264

Это верно. Теперь проверим вторую комбинацию значений

m = - 33

и

n = - 17

:

(- 33)^{2} + 7 (- 17)^{2} = 8 (- 33) (- 17) - 56

1089 + 1813 = 4488 - 56

2902 = 2902

И это также верно.

Таким образом, значения

m = - 33

и

n = - 5

, а также

m = - 33

и

n = - 17

удовлетворяют уравнению

m^{2} + 7 n^{2} = 8 m n - 56

.

Какие значения для целых чисел m и n удовлетворяют уравнению m^2 + 7n^2 = 8mn - 56? Ответ: m = -33 и n = -5, -17

Александрович_5066

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!