Какие значения для целых чисел m и n удовлетворяют уравнению m^2 + 7n^2 = 8mn - 56? Ответ: m = -33 и n = -5, -17

Хорошо, чтобы найти значения целых чисел m и n, удовлетворяющие данному уравнению \(m^2 + 7n^2 = 8mn - 56\), сначала приведем его к квадратному виду. Для этого перенесем все члены в одну сторону уравнения и получим:

\[m^2 - 8mn + 7n^2 + 56 = 0\]

Теперь разберемся как решить это квадратное уравнение относительно переменной m. Мы знаем, что решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) могут быть найдены по формуле дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

Если дискриминант D больше нуля, у нас будут два различных вещественных корня. Если D равен нулю, у уравнения будет один вещественный корень. И наконец, если D меньше нуля, корни будут комплексными числами.

В нашем случае, мы имеем квадратное уравнение \(m^2 - 8mn + 7n^2 + 56 = 0\) с коэффициентами \(a = 1\), \(b = -8n\) и \(c = 7n^2 + 56\).

Давайте найдем дискриминант D:

\[D = (-8n)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (7n^2 + 56) = 64n^2 - 28n^2 - 224\]

Упрощая это выражение, получим:

\[D = 36n^2 - 224\]

Теперь нам нужно найти значения n, при которых D равен нулю, чтобы получить равенство \(m = -33\) и \(n = -5\) или \(m = -33\) и \(n = -17\). Давайте проверим это, подставив значения в исходное уравнение.

Подставим \(m = -33\) и \(n = -5\) в \(m^2 + 7n^2 = 8mn - 56\):

\((-33)^2 + 7(-5)^2 = 8(-33)(-5) - 56\)

\(1089 + 175 = 1320 - 56\)

\(1264 = 1264\)

Это верно. Теперь проверим вторую комбинацию значений \(m = -33\) и \(n = -17\):

\((-33)^2 + 7(-17)^2 = 8(-33)(-17) - 56\)

\(1089 + 1813 = 4488 - 56\)

\(2902 = 2902\)

И это также верно.

Таким образом, значения \(m = -33\) и \(n = -5\), а также \(m = -33\) и \(n = -17\) удовлетворяют уравнению \(m^2 + 7n^2 = 8mn - 56\).