Какое наименьшее значение функции равно -10in(x+3)+24 на отрезке [-2.5

Чтобы найти наименьшее значение функции \(f(x) = -10\ln(x+3) + 24\) на отрезке \([-2.5, b]\), необходимо рассмотреть две ситуации: когда \(b \geq -3\) и когда \(b < -3\).

1. Когда \(b \geq -3\):
На данном отрезке функция \(f(x)\) непрерывна и строго убывает, так как является композицией логарифма и линейной функции. Поэтому, чтобы найти наименьшее значение, необходимо найти предел функции при \(x \to -3\) справа. Для этого проведём следующие действия:
\[
\lim_{{x \to -3^+}} f(x) = \lim_{{x \to -3^+}} (-10\ln(x+3) + 24)
\]
Заменим \(\ln(x+3)\) на \(t\) и найдем предел новой функции:
\[
\lim_{{x \to -3^+}} (-10t + 24)
\]
Теперь заменяем \(t\) обратно на \(\ln(x+3)\):
\[
\lim_{{t \to \ln(0^+)}} (-10t + 24)
\]
Поскольку \(\ln(0^+)\) является бесконечно большим значением, предел становится \(-\infty\). Это значит, что при \(x \to -3\) справа, значение функции \(f(x)\) стремится к \(-\infty\).

2. Когда \(b < -3\):
На отрезке \([-2.5, b]\), функция \(f(x)\) всё равно будет непрерывна и строго убывать. Однако, так как \(b\) смещается левее -3, то она будет возвращаться к положительным значениям и, следовательно, не будет иметь наименьшего значения.

Итак, мы можем сделать вывод, что наименьшее значение функции \(f(x) = -10\ln(x+3) + 24\) на отрезке \([-2.5, b]\) не существует, если \(b < -3\).