Які два натуральних числа йдуть одне за одним, якщо сума їх квадратів більша на 57, ніж їх добуток?

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть первое натуральное число будет обозначено как \(x\), а второе натуральное число - \(x + 1\). Мы можем записать условие задачи следующим образом:

\[(x^2 + (x + 1)^2) - (x \cdot (x + 1)) = 57\]

Давайте раскроем скобки и упростим уравнение:

\[x^2 + (x^2 + 2x + 1) - (x^2 + x) = 57\]

Скомбинируем подобные члены:

\[2x^2 + x + 1 - x^2 - x = 57\]

После упрощения получим:

\[x^2 - x + 1 = 57\]

Теперь приведем уравнение к виду квадратного трехчлена:

\[x^2 - x - 56 = 0\]

Мы получили квадратное уравнение, которое теперь можем решить с помощью формулы дискриминанта. Дискриминант \(D\) для этого уравнения можно вычислить по формуле:

\[D = b^2 - 4ac\]

Где \(a = 1\), \(b = -1\) и \(c = -56\). Подставим значения и вычислим дискриминант:

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225\]

Теперь, используя формулу корней квадратного уравнения, мы можем найти значения для \(x\):

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{1 \pm \sqrt{225}}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{1 \pm 15}}{{2}}\]

Теперь решим уравнение для каждого значения \(x\):

Для \(x = \frac{{1 + 15}}{{2}} = 8\) получаем:

Если первое натуральное число равно 8, то второе натуральное число будет \(8 + 1 = 9\). Проверим условие задачи:

\[8^2 + 9^2 - (8 \cdot 9) = 64 + 81 - 72 = 145 - 72 = 73\]

Условие задачи не выполняется, так как 73 не равно 57, следовательно это не является правильным ответом.

Теперь решим для \(x = \frac{{1 - 15}}{{2}} = -7\):

Отрицательные значения не соответствуют условию задачи, так как мы ищем натуральные числа. Поэтому это также неправильный ответ.

Таким образом, нет натуральных чисел, которые следуют одно за другим, при условии, что сумма их квадратов больше на 57, чем их произведение. Задача не имеет решений.