Какие значения b приводят к тому, что число 3 является корнем уравнения? (b+2)(x-1)=2(x+b-1

Для того чтобы определить значения b, при которых число 3 является корнем уравнения \((b+2)(x-1)=2(x+b-1)\), мы будем решать это уравнение пошагово. Давайте начнем:

Шаг 1: Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения:
\(bx - b + 2x - 2 = 2x + 2b - 2\)

Шаг 2: Сгруппируем одинаковые члены:
\(bx + 2x - 2x - b - 2b = 2 - (-2)\)

Шаг 3: Упростим выражение:
\(bx = 4b\)

Шаг 4: Перенесем все члены с переменной b в одну сторону, а все числа в другую сторону:
\(bx - 4b = 0\)

Шаг 5: Факторизуем b из первых двух членов:
\(b(x - 4) = 0\)

Шаг 6: Рассмотрим два возможных случая:

Случай 1: \(b = 0\)
Если \(b = 0\), то уравнение превращается в \(0(x - 4) = 0\), которое выполняется для любого значения x. Поэтому если b равно 0, то 3 является корнем уравнения.

Случай 2: \(x - 4 = 0\)
Если \(x - 4 = 0\), то \(x = 4\). Подставляя x = 4 в исходное уравнение, мы получаем \((4 + 2)(4 - 1) = 2(4 + b - 1)\), или 18 = 8 + 2b. Из этого уравнения можно выразить b: \(2b = 18 - 8\), значит \(2b = 10\), \(b = 5\). Подставляем b = 5 в исходное уравнение и видим, что оно выполняется: \((5 + 2)(x - 1) = 2(x + 5 - 1)\) превращается в \(7(x - 1) = 2(x + 4)\), или \(7x - 7 = 2x + 8\), что решается как \(5x = 15\), \(x = 3\).

Итак, значения b, которые приводят к тому, что число 3 является корнем уравнения, это b = 0 и b = 5.