Какие утверждения верны? Выберите все правильные варианты ответа: В биссектрисах подобных треугольников, проведенных

Нарисуем два подобных треугольника и проведем биссектрисы к соответствующим сторонам:

\[
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw (0,0) -- (1.5,0) -- (0.5,1) -- cycle;
\draw (4,0) -- (5.5,0) -- (4.5,0.5) -- cycle;

\draw [dashed] (0.5,1) -- (-0.5,0) node[midway, left] {$h_1$};
\draw [dashed] (0.5,1) -- (2,0) node[midway, right] {$h_2$};
\draw [dashed] (4.5,0.5) -- (4,0) node[midway, left] {$h_3$};

\draw [dashed, red] (0.5,1) -- (1.5,0);
\draw [dashed, blue] (4.5,0.5) -- (5.5,0);

\draw[decorate,decoration={brace,raise=5pt,mirror}] (0,0) -- (1.5,0) node[midway, yshift=-0.4cm] {$a_1$};
\draw[decorate,decoration={brace,raise=5pt,mirror}] (1.5,0) -- (0.5,1) node[midway, xshift=0.4cm] {$b_1$};
\draw[decorate,decoration={brace,raise=5pt}] (4,0) -- (5.5,0) node[midway, yshift=-0.4cm] {$a_2$};
\draw[decorate,decoration={brace,raise=5pt}] (5.5,0) -- (4.5,0.5) node[midway, xshift=-0.4cm] {$b_2$};
\end{tikzpicture}
\]

По теореме о биссектрисе:

\[\frac{h_1}{h_2} = \frac{b_1}{a_1} \quad \text{и} \quad \frac{h_3}{h_2} = \frac{b_2}{a_2}\]

Разделим первое равенство на второе:

\[\frac{h_1}{h_3} = \frac{b_1}{a_1} \cdot \frac{a_2}{b_2}\]

Так как \(b_1 = h_1 + h_3\), получаем:

\[\frac{h_1}{h_3} = \frac{h_1 + h_3}{a_1} \cdot \frac{a_2}{b_2}\]

Сокращаем \(h_1 + h_3\):

\[\frac{h_1}{h_3} = \frac{1}{a_1} \cdot \frac{a_2}{b_2}\]

Теперь рассмотрим треугольник, в котором медиана проведена из вершины прямого угла:

\[
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw (0,0) -- (1.5,0) -- (0,1) -- cycle;
\draw [dashed] (0,1) -- (0.75,0);
\draw [dashed] (0.75,0) -- (1.5,0.5);
\draw [dashed] (0.75,0) -- (0.75,0.5);

\draw[decorate,decoration={brace,raise=5pt,mirror}] (0,0) -- (1.5,0) node[midway, yshift=-0.4cm] {$a$};
\draw[decorate,decoration={brace,raise=5pt}] (0.75,0) -- (0,1) node[midway, xshift=-0.4cm] {$b$};
\draw[decorate,decoration={brace,raise=5pt}] (1.5,0) -- (0,1) node[midway, xshift=0.4cm] {$a$};
\end{tikzpicture}
\]

Очевидно, что отношение длин медианы к длине соответствующей стороны равно \(\frac{1}{2}\). Причем, треугольник, образованный медианой и половиной основания, подобен исходному треугольнику.

Таким образом, правильными утверждениями являются:

1. В биссектрисах подобных треугольников, проведенных к соответствующим сторонам, отношение равно коэффициенту подобия.

2. Медиана, проведенная из вершины прямого угла в прямоугольном треугольнике, делит его на два подобных треугольника.