4. Каковы длина средней линии и площадь прямоугольной трапеции, у которой вершины А (-6,3), В(2,3), С(4,3) и Д(-6,-3

Чтобы найти длину средней линии прямоугольной трапеции, мы должны сначала найти длины ее оснований. Длина основания AC можно найти, используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

\[ AC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

где \( x_1, y_1 \) - координаты точки A, а \( x_2, y_2 \) - координаты точки C.

Давайте вычислим длину AC:

\[ AC = \sqrt{(4 - (-6))^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{10^2 + 0^2} = \sqrt{100} = 10 \]

Аналогично, длину основания BD можно найти также:

\[ BD = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \]

Так как прямоугольная трапеция имеет параллельные основания, средняя линия будет равна среднему арифметическому длин оснований. Таким образом, длина средней линии равна:

\[ l = \frac{AC + BD}{2} = \frac{10 + 10}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]

Чтобы найти площадь прямоугольной трапеции, мы можем использовать формулу:

\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]

где \( a \) и \( b \) - длины оснований AC и BD соответственно, а \( h \) - высота трапеции.

Так как вершины C и D находятся на одной горизонтальной прямой, высоту трапеции можно найти как разность координат y этих вершин:

\[ h = y_C - y_D = 3 - (-3) = 3 + 3 = 6 \]

Теперь давайте найдем площадь S:

\[ S = \frac{(10 + 10) \cdot 6}{2} = \frac{20 \cdot 6}{2} = \frac{120}{2} = 60 \]

Таким образом, длина средней линии прямоугольной трапеции равна 10, а ее площадь равна 60.