Какие точки пересечения имеют окружность радиусом 5 см с центром в начале координат и прямой с уравнением y=7−x?

Чтобы найти точки пересечения между окружностью и прямой, мы можем использовать систему уравнений. Одно уравнение будет описывать окружность, а другое - прямую. Затем мы решим систему, чтобы найти значения точек пересечения.

Уравнение окружности задается формулой:
\[x^2 + y^2 = r^2\]
где \(r\) - радиус окружности. В данном случае, радиус равен 5 см, поэтому мы получаем уравнение:
\[x^2 + y^2 = 5^2\]

Уравнение прямой дано в виде:
\[y = 7 - x\]

Теперь мы можем составить систему уравнений:
\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 5^2 \\ y = 7 - x \end{cases}\]

Применим второе уравнение для замены в первом уравнении:
\[x^2 + (7-x)^2 = 5^2\]

Раскроем скобки:
\[x^2 + 49 - 14x + x^2 = 25\]

Соберем все \(x\)-термы в одну часть уравнения и перенесем числа в другую:
\[2x^2 - 14x + 24 = 0\]

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение для этого.

Для решения этого уравнения, мы используем формулу дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac\]
где \(a = 2\), \(b = -14\), \(c = 24\).
Подставим значения в формулу:
\[D = (-14)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 24\]
\[D = 196 - 192\]
\[D = 4\]

Теперь, если дискриминант положительный, то у нас есть два значения для \(x\), это означает, что окружность и прямая пересекаются в двух точках.

Решим уравнение для \(x\):
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
\[x = \frac{-(-14) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 2}\]
\[x = \frac{14 \pm 2}{4}\]

Теперь найдем значения \(y\) подставляя значения \(x\) в уравнение прямой \(y = 7 - x\).

При \(x = \frac{14 + 2}{4} = 4\), получаем:
\[y = 7 - 4 = 3\]

При \(x = \frac{14 - 2}{4} = 3\), получаем:
\[y = 7 - 3 = 4\]

Таким образом, значения точек пересечения окружности и прямой составляют:
\(A_1(4, 3)\) и \(A_2(3, 4)\).