Какие точки на графике функции f(x)=x^3-3x^2 имеют касательные, параллельные оси абсцисс?
Смешарик
Чтобы найти точки на графике функции \(f(x)=x^3-3x^2\), в которых касательные параллельны оси абсцисс, нам понадобится найти значения \(x\), при которых производная функции \(f"(x)\) равна нулю.
1. Начнем с вычисления производной \(f"(x)\) функции \(f(x)\). Для этого применим правило дифференцирования степенной функции, где \(n\) - степень, \(a\) - коэффициент:
\[f"(x) = 3x^2 - 6x\]
2. Так как мы ищем точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс, значит, угол наклона касательной должен быть равен нулю. Угол наклона касательной равен значению производной \(f"(x)\) функции \(f(x)\).
3. Получим уравнение, приравняв производную к нулю и решим его:
\[3x^2 - 6x = 0\]
4. Факторизуем данное уравнение:
\[3x(x - 2) = 0\]
5. Решим полученное уравнение, получим два значения \(x\):
\[x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2\]
6. Зная значения \(x\), найдем соответствующие значения \(y\) с подстановкой в исходную функцию \(f(x)\):
Для \(x = 0\):
\[y = f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 = 0\]
Для \(x = 2\):
\[y = f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4\]
Таким образом, на графике функции \(f(x) = x^3 - 3x^2\) есть две точки с касательными, параллельными оси абсцисс: (0, 0) и (2, -4).
1. Начнем с вычисления производной \(f"(x)\) функции \(f(x)\). Для этого применим правило дифференцирования степенной функции, где \(n\) - степень, \(a\) - коэффициент:
\[f"(x) = 3x^2 - 6x\]
2. Так как мы ищем точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс, значит, угол наклона касательной должен быть равен нулю. Угол наклона касательной равен значению производной \(f"(x)\) функции \(f(x)\).
3. Получим уравнение, приравняв производную к нулю и решим его:
\[3x^2 - 6x = 0\]
4. Факторизуем данное уравнение:
\[3x(x - 2) = 0\]
5. Решим полученное уравнение, получим два значения \(x\):
\[x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2\]
6. Зная значения \(x\), найдем соответствующие значения \(y\) с подстановкой в исходную функцию \(f(x)\):
Для \(x = 0\):
\[y = f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 = 0\]
Для \(x = 2\):
\[y = f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4\]
Таким образом, на графике функции \(f(x) = x^3 - 3x^2\) есть две точки с касательными, параллельными оси абсцисс: (0, 0) и (2, -4).
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
