What is the expression for the sum of ctg(6a), ctg(4a), and tg(2a) equal to in terms of -ctg(6a), ctg(4a), and tg(2a)?

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей.

Нам дано, что нужно выразить сумму \( \ctg(6a) \), \( \ctg(4a) \) и \( \tg(2a) \) через отрицательное \( -\ctg(6a) \), \( \ctg(4a) \) и \( \tg(2a) \).

Давайте начнем с определений тригонометрических функций.

\[ \ctg(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} \]
\[ \tg(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \]

Теперь воспользуемся свойствами этих функций.

1. \(\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\)
2. \(\ctg(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}\)

Давайте начнем с \( \ctg(6a) \). Мы можем представить его как \( \ctg(6a) = \frac{1}{\tan(6a)} \).

Теперь положим \( \tan(6a) = x \). Тогда \( \frac{1}{\tan(6a)} = \frac{1}{x} \).

Поэтому, \( \ctg(6a) = \frac{1}{\tan(6a)} = \frac{1}{x} \).

Теперь давайте займемся \( \ctg(4a) \). Мы можем представить его как \( \ctg(4a) = \frac{1}{\tan(4a)} \).

Аналогично, положим \( \tan(4a) = y \). Тогда \( \frac{1}{\tan(4a)} = \frac{1}{y} \).

Поэтому, \( \ctg(4a) = \frac{1}{\tan(4a)} = \frac{1}{y} \).

И, наконец, займемся \( \tg(2a) \). Мы можем просто использовать определение тангенса:

\( \tg(2a) = \frac{\sin(2a)}{\cos(2a)} \).

Теперь у нас есть выражения для всех тригонометрических функций. Мы можем выразить их через заданные функции с минусом:

\( -\ctg(6a) = -\frac{1}{x} \),
\( \ctg(4a) = \frac{1}{y} \),
\( \tg(2a) = \frac{\sin(2a)}{\cos(2a)} \).

Теперь посмотрим, что происходит с исходным уравнением. Мы должны найти выражение для суммы \( \ctg(6a) \), \( \ctg(4a) \) и \( \tg(2a) \).

Сумма будет выглядеть так:

\( \ctg(6a) + \ctg(4a) + \tg(2a) = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{\sin(2a)}{\cos(2a)} \).

Давайте воспользуемся свойством тригонометрической функции:

\( \frac{\sin(2a)}{\cos(2a)} = \tg(2a) \).

Тогда наше уравнение будет выглядеть так:

\( \ctg(6a) + \ctg(4a) + \tg(2a) = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \tg(2a) \).

Таким образом, выражение для суммы \( \ctg(6a) \), \( \ctg(4a) \) и \( \tg(2a) \) через отрицательное \( -\ctg(6a) \), \( \ctg(4a) \) и \( \tg(2a) \) будет:

\[ \ctg(6a) + \ctg(4a) + \tg(2a) = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \tg(2a) \]

Что касается конкретных значений \( x \) и \( y \), они зависят от угла \( a \) и должны быть заданы в задаче.