Какие пять непрерывных натуральных чисел имеют сумму квадратов первых трех чисел, равную сумме квадратов двух последних

Давайте решим данную задачу шаг за шагом. Нам нужно найти пять непрерывных натуральных чисел, сумма квадратов первых трех из которых равна сумме квадратов двух последних чисел.

Предположим, что первое число из пяти натуральных чисел - это \(x\). В таком случае, остальные четыре числа будут \(x+1\), \(x+2\), \(x+3\) и \(x+4\). Теперь мы можем записать уравнение, исходя из условия задачи.

Сумма квадратов первых трех чисел:
\[x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2\]

Сумма квадратов двух последних чисел:
\[(x+3)^2 + (x+4)^2\]

Из условия задачи, эти две суммы должны быть равны друг другу:
\[x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2 = (x+3)^2 + (x+4)^2\]

Теперь вычислим эту сумму и найдем значение \(x\). Давайте разложим все выражения, раскроем скобки и сократим подобные слагаемые:

\[x^2 + (x^2 + 2x + 1) + (x^2 + 4x + 4) = (x^2 + 6x + 9) + (x^2 + 8x +16)\]

После раскрытия скобок получим:

\[3x^2 + 6x + 5 = 2x^2 + 14x + 25\]

Теперь соберем все слагаемые на одной стороне уравнения:

\[3x^2 + 6x + 5 - 2x^2 - 14x - 25 = 0\]

\[x^2 - 8x - 20 = 0\]

Мы получили квадратное уравнение. Чтобы решить его, воспользуемся формулой дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

В нашем случае, \(a = 1\), \(b = -8\) и \(c = -20\). Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

\[D = (-8)^2 - 4(1)(-20) = 64 + 80 = 144\]

Теперь найдем корни уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{144}}{2} = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10\]
\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{144}}{2} = \frac{8 - 12}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]

У нас получилось два корня: 10 и -2. Но по условию задачи искомыми являются натуральные числа. Таким образом, отбросим отрицательный корень и оставим только положительный.

Таким образом, решение задачи будет следующим: пять непрерывных натуральных чисел, сумма квадратов первых трех из которых равна сумме квадратов двух последних чисел, будут составлять числа 10, 11, 12, 13 и 14.