Какие пары натуральных чисел имеют НОК, превосходящий НОД на 23? Упорядочите все возможные значения числа

Для решения этой задачи нам потребуется знание о понятиях НОК (наименьшее общее кратное) и НОД (наибольший общий делитель) двух чисел.

НОК двух чисел равен произведению самих чисел, разделенному на их НОД. Математически это выглядит следующим образом: \[\text{НОК}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{НОД}(a, b)}.\]

НОД же двух чисел - это наибольшее число, на которое оба числа делятся без остатка. Для нахождения НОД двух чисел можно воспользоваться алгоритмом Евклида.

Теперь рассмотрим саму задачу. Мы ищем пары натуральных чисел, у которых НОК превосходит НОД на 23. Обозначим числа a и b.

Предположим, что НОД(a, b) = x. Тогда мы можем записать НОК(a, b) = x * y для некоторого натурального числа y.

Из условия задачи нам известно, что НОК(a, b) - НОД(a, b) = 23. Подставим вместо НОК(a, b) и НОД(a, b) их выражения через x и y:

x * y - x = 23.

Заметим, что x является общим делителем чисел x и y, а значит, является и делителем числа 23.

Поскольку 23 - простое число, его делителями являются только 1 и 23.

Рассмотрим два случая:

1) Пусть x = 1. Тогда уравнение примет вид: y - 1 = 23, откуда y = 24.

2) Пусть x = 23. Тогда уравнение примет вид: 23y - 23 = 23, откуда y = 2.

Таким образом, получаем две пары чисел: (1, 24) и (23, 2).

Упорядочивая числа a по возрастанию, получаем следующие значения: 1, 23.

Соответствующие им значения числа b: 24, 2.

Итак, пары натуральных чисел, у которых НОК превосходит НОД на 23, это (1, 24) и (23, 2).