Какие координаты имеет вектор х=(9,5,16) в базисе, образованном векторами а=(2,1,3), b=(1,0,2), c=(1,2,3)? Варианты

Для определения координат вектора х в заданном базисе, мы можем представить вектор х как линейную комбинацию базисных векторов а, b и c, умноженных на соответствующие коэффициенты. То есть, вектор х можно записать следующим образом:

х = α * а + β * b + γ * c,

где α, β и γ - коэффициенты, которые мы хотим найти.

Для решения этой задачи можем использовать метод подстановки. Подставим координаты вектора х и базисных векторов в уравнение выше:

(9,5,16) = α * (2,1,3) + β * (1,0,2) + γ * (1,2,3).

Теперь приравняем соответствующие координаты слева и справа:

9 = 2α + β + γ,
5 = α + 2γ,
16 = 3α + 2β + 3γ.

Теперь у нас есть система уравнений, которую нужно решить. Мы можем использовать метод Гаусса-Жордана для решения этой системы. Приведем систему к треугольному виду:

\[
\begin{align*}
2α + β + γ &= 9, \\
α + 2γ &= 5, \\
3α + 2β + 3γ &= 16.
\end{align*}
\]

Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на \(\frac{1}{2}\):

\[
\begin{align*}
2α + β + γ &= 9, \\
\frac{3}{2}γ &= \frac{7}{2}, \\
3α + 2β + 3γ &= 16.
\end{align*}
\]

Решим второе уравнение относительно γ:

\[
\frac{3}{2}γ = \frac{7}{2} \Rightarrow γ = 1.
\]

Теперь подставим полученное значение γ во второе уравнение:

\(α + 2 = 5 \Rightarrow α = 3 - 1 = 2\).

Теперь заменим значения α и γ в первом уравнении:

\(2α + β + γ = 9 \Rightarrow 2 \cdot 2 + β + 1 = 9 \Rightarrow β = 9 - 4 - 1 = 4\).

Мы получили коэффициенты: α = 2, β = 4, γ = 1. Теперь мы можем записать вектор х как линейную комбинацию базисных векторов:

\(х = 2 \cdot (2,1,3) + 4 \cdot (1,0,2) + 1 \cdot (1,2,3).\)

Выполнив вычисления, получим:

\(х = (4, 2, 6) + (4, 0, 8) + (1, 2, 3) = (9, 4, 17).\)

Таким образом, координаты вектора х в заданном базисе (а, b, c) равны (9, 4, 17). Ответ, соответствующий данному варианту, отсутствует в предложенных вариантах.