Какие из перечисленных чисел (a, b, c, d — различные ненулевые цифры) в любом случае будут кратны 11? abab aabb

Чтобы определить, какие из перечисленных чисел будут кратны 11, нам нужно понять условия, при которых число делится на 11 без остатка.

Правило кратности 11 гласит, что число будет кратно 11, если разность между суммой цифр на четных позициях и суммой цифр на нечетных позициях является кратной 11.

Давайте рассмотрим каждое число по отдельности.

1) Число abab:
В этом числе две пары цифр: a и b. Если мы представим это число в виде 10a + b, то можно заметить, что разница между суммой цифр на четных позициях (a + b) и суммой цифр на нечетных позициях (a + b) равна 0. Это означает, что число abab всегда будет кратно 11.

2) Число aabb:
Здесь также две пары цифр, a и b. Если мы представим это число в виде 10a + b, то разница между суммой цифр на четных позициях (b + b = 2b) и суммой цифр на нечетных позициях (a + a = 2a) будет равна 2b - 2a. Для того чтобы это число было кратно 11, разность должна быть равна 0. Однако, это не всегда верно. Например, если a = 1 и b = 2, то разность будет 4, что не делится на 11. Таким образом, число aabb не всегда будет кратно 11.

3) Число abcddcba:
Это число состоит из 8 цифр и можно представить в виде 10^7 * a + 10^6 * b + 10^5 * c + 10^4 * d + 10^3 * d + 10^2 * c + 10^1 * b + 10^0 * a. Разница между суммой цифр на четных позициях (a + b + c + d) и суммой цифр на нечетных позициях (a + b + c + d) будет равна 0. Поэтому число abcddcba всегда будет кратно 11.

4) Число abababab:
В этом числе четыре пары цифр: a и b. Если мы представим это число в виде 10^7 * a + 10^6 * b + 10^5 * a + 10^4 * b + 10^3 * a + 10^2 * b + 10^1 * a + 10^0 * b, то разница между суммой цифр на четных позициях (a + a + a + a) и суммой цифр на нечетных позициях (b + b + b + b) будет равна 0. Это означает, что число abababab всегда будет кратно 11.

5) Число abcabcabc:
В этом числе три пары цифр: a, b и c. Если мы представим это число в виде 10^8 * a + 10^7 * b + 10^6 * c + 10^5 * a + 10^4 * b + 10^3 * c + 10^2 * a + 10^1 * b + 10^0 * c, то разница между суммой цифр на четных позициях (a + b + c + a + b + c) и суммой цифр на нечетных позициях (c + a + b + c + a + b) будет равна 0. Поэтому число abcabcabc всегда будет кратно 11.

6) Число abcabcabcabc:
В этом числе четыре пары цифр: a, b и c. Если мы представим это число в виде 10^11 * a + 10^10 * b + 10^9 * c + 10^8 * a + 10^7 * b + 10^6 * c + 10^5 * a + 10^4 * b + 10^3 * c + 10^2 * a + 10^1 * b + 10^0 * c, то разница между суммой цифр на четных позициях (a + b + c + a + b + c + a + b + c) и суммой цифр на нечетных позициях (c + a + b + c + a + b + c + a + b) будет равна 0. Это означает, что число abcabcabcabc всегда будет кратно 11.

Итак, из перечисленных чисел только числа abab, abcddcba, abababab, abcabcabc и abcabcabcabc будут кратны 11 в любом случае.