Какие интервалы функции y=2x^5-5x^4 являются возрастающими?

Для определения интервалов, на которых функция \(y = 2x^5 - 5x^4\) возрастает, нам потребуется определить производную функции. После этого мы сможем анализировать знак производной, чтобы выяснить, когда функция возрастает или убывает.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y = 2x^5 - 5x^4\).

Производная функции \(y = 2x^5 - 5x^4\) найдется путем применения правила производной для каждого слагаемого:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}(2x^5) - \frac{{d}}{{dx}}(5x^4)
\]

Применив правило производной для слагаемых, получим:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 10x^4 - 20x^3
\]

Шаг 2: Определим интервалы возрастания функции.

Теперь, чтобы понять, когда функция \(y = 2x^5 - 5x^4\) возрастает, мы исследуем знак производной \(\frac{{dy}}{{dx}} = 10x^4 - 20x^3\).

Выражение \(\frac{{dy}}{{dx}} = 10x^4 - 20x^3\) можно рассматривать как функцию второй степени от переменной \(x\). Для нахождения корней этой функции, которые позволят определить интервалы возрастания, мы приравняем выражение к нулю:

\[
10x^4 - 20x^3 = 0
\]

Из этого уравнения можно вынести общий множитель \(2x^3\), что дает:

\[
2x^3(5x - 10) = 0
\]

Значит, корни уравнения составляют наборы \(x = 0\) и \(x = \frac{10}{5}\), что приводит к \(x = 0\) и \(x = 2\).

Шаг 3: Проверим знак производной в каждом интервале.

Теперь, зная корни уравнения, мы можем проверить знак производной в каждом интервале.

1. Когда \(x < 0\), возьмем, например, \(x = -1\). Подставим это значение в выражение производной:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 10x^4 - 20x^3 = 10(-1)^4 - 20(-1)^3 = 10 - 20 = -10
\]

Таким образом, при \(x < 0\) производная отрицательна, что означает, что функция \(y = 2x^5 - 5x^4\) убывает на этом интервале.

2. Когда \(0 < x < 2\), возьмем, например, \(x = 1\). Подставим это значение в выражение производной:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 10x^4 - 20x^3 = 10(1)^4 - 20(1)^3 = 10 - 20 = -10
\]

Таким образом, при \(0 < x < 2\) производная также отрицательна, что означает, что функция \(y = 2x^5 - 5x^4\) убывает на этом интервале.

3. Когда \(x > 2\), возьмем, например, \(x = 3\). Подставим это значение в выражение производной:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 10x^4 - 20x^3 = 10(3)^4 - 20(3)^3 = 10 \cdot 81 - 20 \cdot 27 = 810 - 540 = 270
\]

Таким образом, при \(x > 2\) производная положительна, что означает, что функция \(y = 2x^5 - 5x^4\) возрастает на этом интервале.

Шаг 4: Вывод.

На основе анализа знаков производной функции, мы можем сделать следующие выводы:

- Функция \(y = 2x^5 - 5x^4\) убывает на интервалах \(x < 0\) и \(0 < x < 2\).
- Функция \(y = 2x^5 - 5x^4\) возрастает на интервале \(x > 2\).

Таким образом, интервалы, на которых функция \(y = 2x^5 - 5x^4\) является возрастающей, это \(x > 2\).