Какие интервалы функции y=2x^5-5x^4 являются возрастающими?

Для определения интервалов, на которых функция $y=2x^5-5x^4$ возрастает, нам потребуется определить производную функции. После этого мы сможем анализировать знак производной, чтобы выяснить, когда функция возрастает или убывает.

Шаг 1: Найдем производную функции $y=2x^5-5x^4$.

Производная функции $y=2x^5-5x^4$ найдется путем применения правила производной для каждого слагаемого:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(2x^5)-\frac{d}{dx}(5x^4)$$

Применив правило производной для слагаемых, получим:

$$\frac{dy}{dx}=10x^4-20x^3$$

Шаг 2: Определим интервалы возрастания функции.

Теперь, чтобы понять, когда функция $y=2x^5-5x^4$ возрастает, мы исследуем знак производной $\frac{dy}{dx}=10x^4-20x^3$.

Выражение $\frac{dy}{dx}=10x^4-20x^3$ можно рассматривать как функцию второй степени от переменной $x$. Для нахождения корней этой функции, которые позволят определить интервалы возрастания, мы приравняем выражение к нулю:

$$10x^4-20x^3=0$$

Из этого уравнения можно вынести общий множитель $2x^3$, что дает:

$$2x^3(5x-10)=0$$

Значит, корни уравнения составляют наборы $x=0$ и $x=\frac{10}{5}$, что приводит к $x=0$ и $x=2$.

Шаг 3: Проверим знак производной в каждом интервале.

Теперь, зная корни уравнения, мы можем проверить знак производной в каждом интервале.

1. Когда $x<0$, возьмем, например, $x=-1$. Подставим это значение в выражение производной:

$$\frac{dy}{dx}=10x^4-20x^3=10(-1{)}^4-20(-1{)}^3=10-20=-10$$

Таким образом, при $x<0$ производная отрицательна, что означает, что функция $y=2x^5-5x^4$ убывает на этом интервале.

2. Когда $0<x<2$, возьмем, например, $x=1$. Подставим это значение в выражение производной:

$$\frac{dy}{dx}=10x^4-20x^3=10(1{)}^4-20(1{)}^3=10-20=-10$$

Таким образом, при $0<x<2$ производная также отрицательна, что означает, что функция $y=2x^5-5x^4$ убывает на этом интервале.

3. Когда $x>2$, возьмем, например, $x=3$. Подставим это значение в выражение производной:

$$\frac{dy}{dx}=10x^4-20x^3=10(3{)}^4-20(3{)}^3=10\cdot 81-20\cdot 27=810-540=270$$

Таким образом, при $x>2$ производная положительна, что означает, что функция $y=2x^5-5x^4$ возрастает на этом интервале.

Шаг 4: Вывод.

На основе анализа знаков производной функции, мы можем сделать следующие выводы:

- Функция $y=2x^5-5x^4$ убывает на интервалах $x<0$ и $0<x<2$.
- Функция $y=2x^5-5x^4$ возрастает на интервале $x>2$.

Таким образом, интервалы, на которых функция $y=2x^5-5x^4$ является возрастающей, это $x>2$.