Какие два последовательных натуральных числа дают сумму разности их квадратов и разности квадратов следующих двух

Для решения этой задачи мы должны сформулировать уравнение, основываясь на условии задачи.

Пусть первое натуральное число будет обозначено как \(n\), а второе натуральное число будет обозначено как \(n+1\).

Тогда разность их квадратов равна \((n+1)^2 - n^2 = 2n + 1\), а разность квадратов следующих двух чисел равна \((n+2)^2 - (n+1)^2 = 2n + 3\).

Согласно условию, эти две разности должны в сумме давать 34:

\((2n + 1) + (2n + 3) = 34\).

Произведем алгебраические операции для решения этого уравнения:

\(\begin{align*}
2n + 1 + 2n + 3 &= 34 \\
4n + 4 &= 34 \\
4n &= 30 \\
n &= \frac{30}{4} \\
n &= 7.5
\end{align*}\)

Однако, в условии сказано, что числа должны быть натуральными, поэтому ответом не может быть число с десятичной частью. Поэтому попытаемся рассмотреть следующие натуральные числа.

Пусть \(n = 8\), тогда первое натуральное число равно 8, а второе натуральное число равно 9. Подставим в уравнение и проверим, выполняются ли условия:

\((2 \cdot 8 + 1) + (2 \cdot 8 + 3) = 17 + 19 = 36\).

Таким образом, числа 8 и 9 не удовлетворяют условию задачи.

Попробуем следующие натуральные числа:

При \(n = 1\): \((2 \cdot 1 + 1) + (2 \cdot 1 + 3) = 3 + 5 = 8\).

При \(n = 2\): \((2 \cdot 2 + 1) + (2 \cdot 2 + 3) = 5 + 7 = 12\).

При \(n = 3\): \((2 \cdot 3 + 1) + (2 \cdot 3 + 3) = 7 + 9 = 16\).

При \(n = 4\): \((2 \cdot 4 + 1) + (2 \cdot 4 + 3) = 9 + 11 = 20\).

При \(n = 5\): \((2 \cdot 5 + 1) + (2 \cdot 5 + 3) = 11 + 13 = 24\).

При \(n = 6\): \((2 \cdot 6 + 1) + (2 \cdot 6 + 3) = 13 + 15 = 28\).

При \(n = 7\): \((2 \cdot 7 + 1) + (2 \cdot 7 + 3) = 15 + 17 = 32\).

Таким образом, два последовательных натуральных числа, которые дают сумму разности их квадратов и разности квадратов следующих двух последовательных натуральных чисел, равную 34 при условии, что разности квадратов неотрицательны, отсутствуют.