Какие два натуральных числа имеют сумму их квадратов равную 832 и произведение равное 384? Найти эти числа, решение

Давайте найдем искомые числа. Обозначим их через \(x\) и \(y\). У нас есть два условия:

1) Сумма их квадратов равна 832:
\[x^2 + y^2 = 832\]

2) Произведение равно 384:
\[xy = 384\]

Для начала, решим второе уравнение относительно одной из переменных. Например, выразим \(x\) через \(y\):
\[x = \frac{384}{y}\]

Теперь подставим это значение в первое уравнение:
\[\left(\frac{384}{y}\right)^2 + y^2 = 832\]

Упростим:
\[\frac{384^2}{y^2} + y^2 = 832\]

Умножим все члены уравнения на \(y^2\), чтобы избавиться от дроби:
\[384^2 + y^4 = 832y^2\]

Распишем квадрат \(y^4\) как \((y^2)^2\):
\[384^2 + (y^2)^2 = 832y^2\]

Представим это уравнение в виде квадратного уравнения:
\[(y^2)^2 - 832y^2 + 384^2 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение относительно \(y^2\). Для этого воспользуемся квадратным трехчленом:
\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 1\), \(b = -832\), \(c = 384^2\).

Вычислим дискриминант:
\[D = (-832)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 384^2\]

\[D = 693,664 - 591,872\]

\[D = 101,792\]

Теперь, найдем \(y^2\) с помощью квадратного трехчлена:
\[y^2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[y^2 = \frac{832 \pm \sqrt{101,792}}{2}\]

\[y^2 = \frac{832 \pm \sqrt{316}}{2}\]

\[y^2 = \frac{832 \pm 2\sqrt{79}}{2}\]

\[y^2 = 416 \pm \sqrt{79}\]

Рассмотрим два случая:

1) \(y^2 = 416 + \sqrt{79}\):

Для этого случая, найдем значение \(y\):
\[y = \sqrt{416 + \sqrt{79}}\]

После нахождения значения \(y\), вычислим значение \(x\) с помощью второго уравнения:
\[x = \frac{384}{y}\]

2) \(y^2 = 416 - \sqrt{79}\):

Аналогично, найдем значение \(y\):
\[y = \sqrt{416 - \sqrt{79}}\]

И вычислим значение \(x\):
\[x = \frac{384}{y}\]

Теперь перейдем к вычислениям. Округлим значения \(y\) и \(x\) до целых чисел, поскольку нам нужны натуральные числа:

1) \(y = \sqrt{416 + \sqrt{79}} \approx 19\)

\[x = \frac{384}{y} = \frac{384}{19} \approx 20\]

2) \(y = \sqrt{416 - \sqrt{79}} \approx 8\)

\[x = \frac{384}{y} = \frac{384}{8} = 48\]

Таким образом, мы получаем две пары чисел: (19, 20) и (8, 48). По условию задачи, мы должны представить эти числа в порядке возрастания. Следовательно, ответом будет пара (8, 48).