Сколько окружностей можно создать, проходящих через 27 точек, если каждые 3 точки могут образовывать одну окружность?

Для решения первой задачи о количестве окружностей, проходящих через 27 точек, используем комбинаторику. Мы знаем, что каждые 3 точки могут образовывать одну окружность.

Чтобы найти количество окружностей, разделим общее количество точек на 3, так как каждая окружность образуется при соединении 3 точек.

\[
\text{Количество окружностей} = \frac{\text{количество точек}}{3} = \frac{27}{3} = 9
\]

Таким образом, через 27 точек можно создать 9 окружностей.

Во второй задаче вам нужно определить количество уникальных хорд, которые можно провести через указанные 17 точек на окружности. Для этого воспользуемся формулой для нахождения количества комбинаций из n элементов, выбранных по k элементов:

\[
C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]

В данном случае, у нас 17 точек, из которых нужно выбрать 2 точки для проведения хорды. Подставим значения в формулу:

\[
C_{17}^2 = \frac{17!}{2!(17-2)!} = \frac{17!}{2!15!} = \frac{17 \cdot 16}{2} = 136
\]

Таким образом, через указанные 17 точек на окружности можно провести 136 уникальных хорд.

В третьей задаче вам нужно определить, сколькими разными способами можно выбрать 3 специалистов из группы, состоящей из 17 экономистов и 8 программистов, для поездки за границу. Для решения этой задачи воспользуемся формулой для нахождения количества сочетаний из n элементов, выбранных по k элементов:

\[
C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]

У нас есть 17 экономистов и 8 программистов, из которых нужно выбрать 3 человека. Подставим значения в формулу:

\[
C_{17+8}^3 = \frac{(17+8)!}{3!(17+8-3)!} = \frac{25!}{3!22!} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 25 \cdot 24 \cdot 23 = 13800
\]

Таким образом, 3 специалиста можно выбрать из группы из 17 экономистов и 8 программистов для поездки за границу 13800 разными способами.

В четвертой задаче вам нужно определить, сколько одноклассников присутствовало на встрече, если всего было 210 рукопожатий. Заметим, что каждое рукопожатие предполагает присутствие двух людей. Если было 210 рукопожатий, значит, каждый человек должен был пожать руку с остальными людьми, кроме себя самого.

Давайте предположим, что на встрече присутствовало n человек. Если каждый человек пожал руку каждому другому человеку, то всего было бы \(\frac{n(n-1)}{2}\) рукопожатий. Но в нашем случае получилось 210 рукопожатий.

Уравнение для нахождения значения n:

\[
\frac{n(n-1)}{2} = 210
\]

Решая это уравнение можно получить нецелое значение для n. Проверим, при каких целых значениях n будет выполняться условие:

\[
n(n-1) = 420
\]

Проверив делители числа 420, мы можем найти целочисленный ответ:

\[
n = 21
\]

Таким образом, на встрече было присутствовало 21 одноклассник.