Какие два целых числа, которые при увеличении одного на 4 и уменьшении другого на 7, дают произведение, равное

Давайте решим задачу шаг за шагом. У нас есть два целых числа, которые мы обозначим как \(x\) и \(y\). По условию задачи, при увеличении одного числа на 4 и уменьшении другого на 7, их произведение равно 12.

Таким образом, у нас есть два уравнения:

\((x + 4)(y - 7) = 12\) (1)

\(xy = -26\) (2)

Давайте решим второе уравнение (2) относительно одной переменной. Выразим \(y\) через \(x\):

\(y = \frac{{-26}}{{x}}\) (3)

Теперь подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение (1):

\((x + 4)\left(\frac{{-26}}{{x}} - 7\right) = 12\)

Очистим уравнение от дробей, умножив обе части на \(x\):

\((x + 4)(-26 - 7x) = 12x\)

Раскроем скобки:

\(-26x - 7x^2 -104 - 28x = 12x\)

Упростим:

\(-7x^2 - 42x - 104 = 12x\)

Приравняем уравнение к нулю и решим его:

\(-7x^2 - 54x - 104 = 0\)

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратичную формулу:

\(x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\)

В нашем случае, \(a = -7\), \(b = -54\) и \(c = -104\), так что:

\(x = \frac{{-(-54) \pm \sqrt{{(-54)^2 - 4(-7)(-104)}}}}{{2(-7)}}\)

Вычислим это:

\(x = \frac{{54 \pm \sqrt{{2916 - 2912}}}}{{-14}}\)

\(x = \frac{{54 \pm \sqrt{{4}}}}{{-14}}\)

\(x = \frac{{54 \pm 2}}{{-14}}\)

Теперь найдем два значения \(x\):

\(x_1 = \frac{{54 + 2}}{{-14}} = -4\)

\(x_2 = \frac{{54 - 2}}{{-14}} = -4\frac{4}{7}\)

Теперь подставим значения \(x\) обратно в уравнение (2), чтобы найти соответствующие значения \(y\):

При \(x = -4\):

\(y = \frac{{-26}}{{-4}} = 6\frac{1}{2}\)

При \(x = -4\frac{4}{7}\):

\(y = \frac{{-26}}{{-4\frac{4}{7}}} = 5\frac{7}{12}\)

Итак, два целых числа, которые удовлетворяют условию задачи, равны:

\((-4, 6\frac{1}{2})\) и \((-4\frac{4}{7}, 5\frac{7}{12})\)