Какие числа загадали Миша, Арсений и Олеся, если Миша увеличил число на 7/11 этого числа и получил 216, Арсений

Давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть загаданное число Миши обозначим как \(x\). Миша увеличил это число на \(\frac{7}{11}\) этого числа и получил 216. Мы можем записать это в виде уравнения:
\[x + \frac{7}{11}x = 216\]

Чтобы решить это уравнение, сначала найдём общий знаменатель слева:
\[\frac{11x + 7x}{11} = 216\]
\[\frac{18x}{11} = 216\]

Теперь избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на 11:
\[18x = 216 \cdot 11\]

Выполним вычисления:
\[18x = 2376\]
\[x = \frac{2376}{18}\]
\[x = 132\]

Таким образом, число, загаданное Мишей, равно 132.

Аналогичным образом решим уравнение для Арсения.

Пусть загаданное число Арсения обозначим как \(y\). Арсений прибавил к своему любимому числу \(\frac{2}{3}\) этого числа и получил 15. Мы можем записать это в виде уравнения:
\[y + \frac{2}{3}y = 15\]

Избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на 3:
\[3y + 2y = 15 \cdot 3\]
\[5y = 45\]
\[y = \frac{45}{5}\]
\[y = 9\]

Таким образом, число, загаданное Арсением, равно 9.

Перейдём к решению уравнения для Олеси.

Пусть загаданное число Олеси обозначим как \(z\). Олеся уменьшила своё произвольное число на \(\frac{2}{9}\) этого числа и получила 42. Мы можем записать это в виде уравнения:
\[z - \frac{2}{9}z = 42\]

Избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на 9:
\[9z - 2z = 42 \cdot 9\]
\[7z = 378\]
\[z = \frac{378}{7}\]
\[z = 54\]

Таким образом, число, загаданное Олесей, равно 54.

Итак, верные числа для Миши, Арсения и Олеси соответственно: 132, 9 и 54.