Какие будут размеры и объем бака прямоугольной формы без крышки, если из листа металла размером a на b нужно

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать дифференциальное исчисление. Для начала, давайте определим, какие переменные будем использовать.

Пусть \(x\) будет длиной одной из сторон прямоугольника бака, а \(y\) - длиной другой стороны.

Объем бака можно выразить как произведение его длины, ширины и высоты. В данной задаче, высота будет постоянной величиной и равна 2.

Итак, объем бака равен \(V = x \cdot y \cdot 2\).

Так как у нас есть ограничение - бак должен быть изготовлен из прямоугольного листа металла размером \(a\) на \(b\), мы знаем, что сумма периметров одинаковых противоположных сторон должна быть равна периметру листа металла.
Одна сторона бака равна \(2x\), противоположная сторона равна \(2y\). Периметр листа металла составляет \(2a + 2b\).
Таким образом, у нас есть ограничение:
\[2x + 2y = 2a + 2b\].

Для дальнейшего решения нам необходимо выразить одну переменную через другую. Для этого мы можем, например, выразить \(y\) через \(x\). Получаем:
\[y = a + b - x\].

Теперь подставим это выражение в формулу для объема:
\[V = x \cdot (a + b - x) \cdot 2\].
\[V = 2x(a + b - x)\].

У нас есть функция объема бака от длины \(x\). Чтобы найти максимум этой функции, необходимо найти значение \(x\), где функция достигает своего максимума.
Для этого возьмем первую производную функции и приравняем ее к нулю:
\[\frac{dV}{dx} = 2(a + b - 2x) = 0\].

Решим это уравнение относительно \(x\):
\[a + b - 2x = 0\].
\[2x = a + b\].
\[x = \frac{a + b}{2}\].

Теперь, чтобы найти \(y\), подставим найденное значение \(x\) в одно из уравнений, выражающих ограничение:
\[y = a + b - x\].
\[y = a + b - \frac{a + b}{2}\].
\[y = \frac{a + b}{2}\].

Таким образом, размеры бака, при которых его объем будет максимальным, равны:
\[x = \frac{a + b}{2}\],
\[y = \frac{a + b}{2}\].

Теперь, чтобы найти объем бака при заданных значениях \(a = 2\) и \(b = 2.5\), подставим их в формулу объема:
\[V = 2 \cdot \frac{2 + 2.5}{2} \cdot \frac{2 + 2.5}{2}\].

После вычислений получается:
\[V = 10.5\].

Таким образом, при размерах \(a = 2\) и \(b = 2.5\) размеры бака без крышки, при которых его объем будет максимальным, составят \(x = y = \frac{a + b}{2} = \frac{2 + 2.5}{2} = 2.25\) и объем будет равен \(V = 10.5\).