Какая вероятность, что среди взятых наудачу 7 шестерен из ящика окажутся изготовленными на заводе № 2? а) трое

Для решения этой задачи мы должны знать общее количество шестерен в ящике, а также количество шестерен, изготовленных на заводе № 2.

Пусть общее количество шестерен в ящике будет равно N, а количество изготовленных на заводе № 2 будет равно M.

Первоначально нам нужно посчитать общее количество возможных комбинаций 7 шестерен из N. Для этого мы можем использовать формулу сочетаний C(n, k), где n - общее количество элементов, а k - количество элементов, которые мы выбираем:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]

а) Чтобы найти вероятность выбора трех шестерен из ящика, изготовленных на заводе № 2, мы сначала найдем количество возможных комбинаций из M шестерен, затем умножим его на количество возможных комбинаций из (N-M) оставшихся шестерен, и разделим результат на общее количество комбинаций из N шестерен:

\[P(a) = \frac{{C(M, 3) \cdot C(N-M, 7-3)}}{{C(N, 7)}}\]

б) Чтобы найти вероятность выбора не более двух шестерен из ящика, изготовленных на заводе № 2, мы должны посчитать сумму вероятностей выбора 0, 1 и 2 шестерен из завода № 2:

\[P(в) = \frac{{C(M, 0) \cdot C(N-M, 7-0)}}{{C(N, 7)}} + \frac{{C(M, 1) \cdot C(N-M, 7-1)}}{{C(N, 7)}} + \frac{{C(M, 2) \cdot C(N-M, 7-2)}}{{C(N, 7)}}\]

Вот пошаговое решение задачи. Предположим, у нас есть 10 шестерен в ящике, из которых 3 изготовлены на заводе № 2.

а) Вероятность выбора трех шестерен из завода № 2:

\[P(a) = \frac{{C(3, 3) \cdot C(10-3, 7-3)}}{{C(10, 7)}}\]
\[P(a) = \frac{{1 \cdot C(7, 4)}}{{C(10, 7)}}\]
\[P(a) = \frac{{1 \cdot \frac{{7!}}{{4!(7-4)!}}}}{{\frac{{10!}}{{7!(10-7)!}}}}\]
\[P(a) = \frac{{1 \cdot \frac{{7!}}{{4!3!}}}}{{\frac{{10!}}{{7!3!}}}}\]
\[P(a) = \frac{{1 \cdot \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{4 \cdot 3!}}}}{{\frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}}{{7!3!}}}}\]
\[P(a) = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}}{{10 \cdot 9 \cdot 8}}\]
\[P(a) = \frac{{840}}{{720}}\]
\[P(a) = \frac{{7}}{{6}}\]

Таким образом, вероятность выбора трех шестерен, изготовленных на заводе № 2, составляет \(\frac{{7}}{{6}}\).

б) Вероятность выбора не более двух шестерен из завода № 2:

\[P(в) = \frac{{C(3, 0) \cdot C(10-3, 7-0)}}{{C(10, 7)}} + \frac{{C(3, 1) \cdot C(10-3, 7-1)}}{{C(10, 7)}} + \frac{{C(3, 2) \cdot C(10-3, 7-2)}}{{C(10, 7)}}\]
\[P(в) = \frac{{1 \cdot C(7, 7)}}{{C(10, 7)}} + \frac{{3 \cdot C(7, 6)}}{{C(10, 7)}} + \frac{{3 \cdot C(7, 5)}}{{C(10, 7)}}\]
\[P(в) = \frac{{1 \cdot \frac{{7!}}{{7!(7-7)!}}}}{{\frac{{10!}}{{7!(10-7)!}}}} + \frac{{3 \cdot \frac{{7!}}{{6!(7-6)!}}}}{{\frac{{10!}}{{7!(10-7)!}}}} + \frac{{3 \cdot \frac{{7!}}{{5!(7-5)!}}}}{{\frac{{10!}}{{7!(10-7)!}}}}\]
\[P(в) = \frac{{1 \cdot 1}}{{\frac{{10!}}{{7!3!}}}} + \frac{{3 \cdot \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{6!}}}}{{\frac{{10!}}{{7!3!}}}} + \frac{{3 \cdot \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{5!2!}}}}{{\frac{{10!}}{{7!3!}}}}\]
\[P(в) = \frac{{7!3!}}{{10!}} + \frac{{3 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}}{{10 \cdot 9}} + \frac{{3 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}}{{10 \cdot 9 \cdot 2}}\]
\[P(в) = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot (3! + 3)}}{{10 \cdot 9 \cdot (2 + 1)}}\]
\[P(в) = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 6}}{{10 \cdot 9 \cdot 3}}\]
\[P(в) = \frac{{5}}{{9}}\]

Таким образом, вероятность выбора не более двух шестерен, изготовленных на заводе № 2, составляет \(\frac{{5}}{{9}}\).

Я надеюсь, что это подробное решение поможет вам понять, как найти вероятность выбора трех шестерен и вероятность выбора не более двух шестерен из завода № 2. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.