При яких значеннях параметра а система рівнянь має безліч розв язків? {-3x+ay=-6 9x-3y=18

Чтобы определить, при каких значениях параметра \(a\) система решений будет иметь бесконечно много, нам нужно проанализировать коэффициенты перед переменными \(x\) и \(y\) в обеих уравнениях.

У нас есть два уравнения:

\[
\begin{align*}
-3x + ay &= -6 \\
9x - 3y &= 18 \\
\end{align*}
\]

Давайте рассмотрим первое уравнение. Если коэффициент \(a\) равен нулю, то у нас будет простое уравнение \(-3x = -6\), которое имеет единственное решение \(x = 2\). Однако, если \(a\) не равен нулю, мы имеем уравнение с двумя переменными \(x\) и \(y\), и оно может иметь более одного решения.

Теперь посмотрим на второе уравнение. Мы видим, что у коэффициента перед переменной \(x\) также есть значение 9. Сравнивая это с первым уравнением, где коэффициент перед \(x\) равен -3, мы видим, что это противоположные значения. Это означает, что если мы подставим \(x = -2\) и \(y = 0\) в оба уравнения, они будут оба истинными уравнениями.

Таким образом, система будет иметь бесконечно много решений при любом значении параметра \(a\), за исключением случая, когда \(a\) равно нулю.

Обоснование: Если \(a = 0\), у нас будет одно уравнение с одной переменной \(-3x = -6\), которое имеет единственное решение \(x = 2\). Если \(a \neq 0\), система будет иметь бесконечно много решений, потому что второе уравнение является линейной комбинацией первого уравнения при подстановке \(-x = \frac{2}{3}y\).

То есть, чтобы система имела бесконечно много решений, значение параметра \(a\) должно быть любым, кроме нуля.